|
|
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА XI Задачи на повторение 2065. Может ли сумма квадратов двух чисел быть отрицательной? Ответ пояснить примерами. 2066. При каком условии квадрат комплексного числа а + bi является чисто мнимым числом? 2067. В каком случае сумма и произведение двух комплексных чисел являются действительными числами? Упростить выражения (2068 — 2073):
Доказать тождества (№ 2074, 2075): 2074. (1 + i)20 = —210i. 2075. (1 — i)30 = 215i. 2076. Составить квадратное уравнение с действительными, коэффициентами, один из корней которого равен: а) (5 + i) (i — 3); б 2077. Может ли квадратное уравнение с действительными коэффициентами иметь корни 1 + i и 1 + 2i? 2078. Найти действительные числа х и у из уравнений:
2079. Найти чисто мнимые числа и и v из уравнений: a) 5v — 7ui = — 7 + 5i; б) 2u + 3vi = 12 + 6i. 2080. Доказать, что для любых комплексных чисел z1 и z2 |z1 + z2|2 + |z1 — z2|2 = 2|z1|2 + 2|z2|2. Какую известную из геометрии теорему о диагоналях параллелограмма выражает это соотношение? 2081. Найти модуль и аргумент комплексного числа (5— 12i)(3 — 4i). 2082. Выразить модуль и аргумент комплексного числа через модуль и аргумент сопряженного к нему числа. 2083. Представить в тригонометрической форме комплексные числа: a) 1 + i tg α ; 2084. Точка плоскости А изображает комплексное число а + bi. Какое число изображает точка В, симметричная точке А относительно: а) действительной оси; б) мнимой оси; в) начала координат? 2085*. На плоскости известно положение точки, соответствующей комплексному числу z. Как с помощью циркуля и линейки отыскать на той же плоскости точку, соответствующую комплексному числу 1/z? 2086. Доказать, что все корни n-й степени из комплексного числа r (cos φ + i sin φ) геометрически изображаются как вершины правильного n-угольника. Найти сторону этого n-угольника. 2087. Доказать, что сумма всех корней n-й степени из любого комплексного числа равна нулю. 2088. Вычислить: (√3 + i )10 + (√3 — i )10. 2089. x1, x2 и x3— корни уравнения x3 — 1 = 0. Чему равно выражение
ОТВЕТЫ
|
