МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ    XII

§ 261. Общие и частные утверждения. Дедукция и индукция.

Все утверждения можно разделить на общие и частные. Примерами общих утверждений яляются утверждения:

1)   в любом треугольнике сумма двух сторон больше третьей стороны;

2)   все числа, оканчивающиеся четной цифрой, делятся  на 2 и  т.  д.

Частными являются,  например, утверждения:

1)  в треугольнике ABC   (рис. 337)   сумма   двух    сторон   АВ и ВС больше третьей стороны АС.

2)   число 136 делится на 2.

Переход от общих утверждений к частным называется дедукцией. Дедукция очень часто используется в математике. Все общие теоремы мы доказываем именно для того, чтобы затем использовать их для решения различных частных задач.

Но наряду с этим математике часто приходится от частных утверждений переходить к общим. Например, рассматривая арифметическую прогрессию

a1,   a2,  a3, . . . , an,   ...

(см. ч. I, § 142), мы заметили, что

a2 = a1 + d,

a3a1 + 2d,

a4 = a1 + 3d.

Исходя из этих частных формул, мы сделали вывод, что при  любом   натуральном   п

an = a1+ (п — 1)d.

Переход от частных утверждений к общим называется индукцией.

В отличие от дедукции индукция может привести как к верным, так и к неверным результатам. Например, рассматривая значения квадратного трехчлена  f (n) = n2+ п + 41 при малых натуральных значениях п, можно заметить,  что эти значения выражаются   простыми   числами   (то   есть  числами,   которые   без остатка делятся только на себя и на 1). Действительно,

f (1) = 43;

f (2) = 47;

f (3) = 53;

f (4) = 61

и т. д.  Напрашивается вывод, что при любом натуральном п значение выражения   n2+ п + 41 является простым числом. Однако   вывод  этот   является   неверным.   Например,   при   п = 41

 n2+ п + 41 = 412 + 41 +41 =41(41 + 1 + 1) = 41 • 43.

Пусть некоторое утверждение справедливо в нескольких частных случаях. Рассмотрение всех остальных случаев или совсем невозможно, или требует большого числа вычислений. Как же узнать, справедливо ли это утверждение вообще? Этот вопрос иногда удается решить посредством применения особого метода рассуждений, называемого методом математической индукции. Этот метод мы рассмотрим в следующем параграфе.

В математике уже издавна используется индуктивный метод, основанный на том, что то или иное общее утверждение делается на основании рассмотрения лишь нескольких частных случаев. История, например, сохранила следующее высказывание Эйлера: «У меня нет для доказательства никаких других доводов, за исключением длинной индукции, которую  я провел так далеко, что никоим образом не могу сомневаться в законе, управляющем образованием этих членов... И кажется невозможным, чтобы закон, который, как было обнаружено, выполняется, например, для 20 членов, нельзя было бы наблюдать и для следующих».

Веря в непогрешимость индукции, ученые иногда допускали грубые ошибки. К середине семнадцатого столетия в математике накопилось немало ошибочных выводов. Стала силыю ощущаться потребность в научно обоснованном методе, который позволял бы делать общие выводы на основании рассмотрения нескольких частных случаев. И такой метод был разработан. Основная заслуга в этом принадлежит французским математикам Паскалю (1623—1662) и Декарту, а также швейцарскому математику Якобу Бернулли   (1654—1705).

Упражнения

2090.   Какие из данных утверждений являются общими и какие частными:

а)  число 16 четное;

б)  всякое число,  оканчивающееся  цифрой 6,   четное;

в)  синус любого угла   по   абсолютной   величине   не   превышает  1;

г)  синус угла 50° меньше 1;

д)  десятичный логарифм числа —2 не определен;

е)  отрицательные   числа   не   имеют  десятичных   логарифмов?

2091.   Числа 24, 64,  104 делятся на 4. Можно ли на основании этого сказать, что любое число, оканчивающееся цифрой 4, делится на 4?

2092. Синусы углов  45°  и  60°  иррациональны   (2/2  и  3/2)

Можно ли из этого  заключить,   что  синусы   любых   углов  иррациональны?

Используются технологии uCoz