Задачи на повторение всего курса алгебры и элементарных функций

2109.   На одном складе а тонн угля, на другом b тонн. Ежедневно на оба склада поступает по с тонн угля.   Через сколько дней на первом складе будет угля   в   2   раза   больше,   чем на втором?

2110.  Два   крана,   работая   одновременно,   наполняют   сосуд за 6 ч. За какое время наполняет сосуд каждый кран в отдельности, если известно, что один первый кран наполняет сосуд на 5 ч дольше,  чем один второй?

2111.  Поезд был   задержан   на 16   мин   и   нагнал  опоздание на перегоне 80 км, увеличив скорость на   10 км /ч по сравнению с обычной. Найти обычную скорость поезда.

2112.  На вспашку   поля   один   тракторист тратит времени  в 1,2 раза  больше другого,   но  на  3 ч  меньше третьего тракториста. Работая вместе, три тракториста вспахали    поле за 4 ч. За сколько часов может вспахать поле каждый из трактористов?

2113.   Велосипедист совершил поездку из A в В и  обратно. Путь  состоял   из  подъема,   горизонтального   участка  и  спуска. На горизонтальном участке он ехал   со  скоростью  20   км/ч,   на спуске — 25 км/ч, а на подъеме— 15 км/ч.  Из A в В  велосипедист ехал 2 ч 22 мин, а   из В в A — 2 ч   14   мин.   Определить длину подъема и длину спуска, если  горизонтальная часть пути составляет 30 км.

2114.  Два  самолета  вылетают  одновременно   навстречу   друг другу из городов А и В, расстояние   между    которыми    равно 1800 км. Встреча между ними    произошла через час после    вылета. Первый самолет прибыл   в   город   В на   27 мин раньше, чем второй в город A.   Найти скорости самолетов.

2115.  Один сплав состоит   из    двух    металлов,   входящих в отношении 1 : 2, а другой содержит те же металлы в отношении 3 : 4. Сколько частей каждого сплава нужно взять, чтобы   получить третий сплав, содержащий   те  же   металлы   в   отношении 15 : 22?

2116. Два пешехода, находясь друг от друга на расстоянии 10,2 км, отправляются одновременно из пунктов А и В, двигаясь по прямой АВ. Они встретятся через 1 ч 12 мин, если будут идти навстречу друг другу, и через 6 ч 48 мин, если будут идти в одном направлении. Найти скорость каждого пешехода.

2117. В шахматном турнире двое из участников выбыли, сыграв по пять партий каждый. Поэтому на турнире было сыграно всего 38 партий. Сколько участников было в начале турнира? Сыграли ли между собой выбывшие из турнира шахматисты?

2118. Пароход идет от Горького до Астрахани 5 суток, а от Астрахани до Горького — 7 суток. Сколько времени будут плыть от Горького до Астрахани плоты?

2119*. Два конькобежца выбегают одновременно: первый из А в В, а второй из В в A — и встречаются на расстоянии 300 м от А. Пробежав дорожку АВ до конца, каждый из них поворачивает назад и встречает другого на расстоянии 400 м от В. Найти длину дорожки АВ.

2120.   Решить   уравнения:

2121.   Решить   уравнения:

а)  | 2х — 3 | = а;

б)  | 4 — 5х | = | 8 — х |;

в)* | х + 1| + | х — 1| + | х — 3| = 3 + х.

2122.   (У с т н о.)   Сколько решений имеет каждая из данных систем уравнений:

2123.  Решить системы уравнений:

2126. У продавца неточные весы (коромысла весов имеют различные длины). Зная это, продавец отвешивает каждому покупателю половину товара на одной чашке, а половину — на другой чашке весов, думая, что тем самым он компенсирует неточность весов. Прав ли он?

2127*. Доказать, что из всех треугольников с данным периметром Р наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник.

2128.  Доказать, что для любого острого угла φ

tg φ + ctg φ > 2.

2129.  Решить   неравенство

2130*. Для каких значений а неравенство

удовлетворяется при всех значениях х?

2131. Решить  уравнения:

а)  х — 6 = 1 +√ x —1;         в) √ x —1 + √ x —4 = 3.

б)  √ x —1 + √ 3х+1 = 2;

2132.  При каких значениях а уравнение

(а —3) x² — 4x — 2а = 0

имеет:

а) дейстрительные корни;

б)  действительные корни одного знака;

в)  действительные корни разных знаков?

2133.  Решить уравнения:

а)  √ (x —2)²   = — (x — 2);         в) √ (x —2)²   + √ (x —4)²   = 2.

б)  √ (x² — x + 1)²  = x² — x + 1;

2134.  Построить график функции:

у = √ x²  + √ (x —1)²  .

2135.  Что больше:

а)  3⁶⁰⁰ или 6³⁰⁰;

2136.  Средний годовой процент прироста населения  из  года в год остается постоянным. Если бы он увеличился на k%, то через п лет численность населения была бы в два раза больше, чем  при нормальных   условиях.    Определить   годовой    процент   прироста населения.

2137.  Найти косинус, тангенс и котангенс угла φ, если

sin φ = ⁵/₁₃

2138.  Найти синус, тангенс и котангенс угла φ, если

соs φ =  — ³/₅

2139.  Найти синус, косинус и котангенс угла φ, если

tg φ = ¹/₂.

2140.  Найти синус, косинус, тангенс и котангенс угла

arcsin ¹/₃ '

2141.  Найти синус, косинус, тангенс и котангенс угла

arccos ( — ¹²/₁₃)

2142.  Найти синус, косинус, тангенс и котангенс угла

arctg(— ²/₃).

2185.    Крайние   члены  арифметической   прогрессии   равны  5 и 25. Найти два равноотстоящих от них члена,   произведение которых  равно  189.

2186.  Найти четыре числа,   из   которых   первые  три  составляют   геометрическую   прогрессию,   а   последние три — арифметическую; сумма   крайних   чисел   равна   14, а   сумма   средних равна   12.

2187.  Арифметическая и возрастающая геометрическая     прогрессии имеют первые члены, равные каждый 2, и равные третьи члены. Второй член арифметической прогрессии на 4 больше второго члена  геометрической  прогрессии.   Найти эти  прогрессии.

2188.   Найти   острый   угол   прямоугольного треугольника, если    известно,    что его стороны  образуют  геометрическую  прогрессию.

2189.  Дан правильный треугольник, сторона которого равна а.  В треугольник вписан круг, в круг снова вписан,   правильный треугольник, в треугольник — круг и так далее до бесконечности. Определить сумму  площадей  всех кругов и сумму длин всех окружностей.

2190.   Найти   бесконечно   убывающую   геометрическую      прогрессию, если ее сумма равна 3, а сумма квадратов ее  членов равна 4,5.

2191.  При каких значениях х числа lg 2, lg (2^х — 1) и lg (2^х + 1) образуют арифметическую прогрессию?

2192.  Доказать,   что   log₂ 3 — число   иррациональное.

2193.   Вычислить:

2214.  Световой луч,  проходя через пластмассовую пластинку, теряет  — своей интенсивности. Сколько таких пластинок можно поставить на пути луча,   чтобы    при    прохождении через    них потерялось не  более ²¹¹/₂₄₃ его первоначальной интенсивности?

2215.   Построить  графики функций:

а) y = | log₂ x |;            б) y =  log₂ | x |;        в)  y =  log₂ | — x |.

2216.  Найти области определения функций:

2217.  Доказать, что функция  четная,   а   функция   нечетная.

2218.   Функция  Дирихле  определяется  следующим образом:

а)  Является ли  эта функция  четной?

б)  Доказать,  что   эта   функция   периодична,   причем   любое рациональное число  является  ее    периодом.    Есть  ли   у  этой функции  наименьший  положительный  период?

в)  Доказать, что никакое иррациональное число не является периодом данной функции.

2219.  Доказать, что производная периодической функции является периодической функцией. Привести примеры.

2220.  Доказать, что производная четной функции есть функция нечетная, а производная нечетной функции — функция четная. Привести примеры.

2221.   В  каких  интервалах   существуют функции,   обратные данным:

a) y = tg ( ^x/₂ — ^π/₄);       6) y = cos² x?

2222.   На одном и том же чертеже построить графики данной и  обратной  к   ней  функций:

а) у = 2х— 1;               б) у = 3^x+1.

2233.   Выражение (cos φ + i sin φ)⁵ преобразовать двумя способами: с помощью формулы Муавра и с помощью формулы бинома Ньютона. Сравнивая результаты, выразить sin 5φ и cos 5φ через sin φ и cos φ.

2234.  Тело движется  по закону s (t) = t³ (s — путь в метрах,  t — время в секундах). В некоторый момент τ сек его мгновенная скорость равна средней скорости в интервале от t₁ сек до t₂ сек (t₂ > t₁). Доказать, что t₁ < τ < t₂.

2235.  Написать уравнение касательной к кривой у = √x в точке с абсциссой х = 4.

2236.  Написать уравнения касательных к параболам у = x² и у = (х — 2)² в точке их, пересечения.

2237.  Найти производные следующих функций:

а)  sin⁴ x;          в) cos⁵ (x — 1);          д) (x² + 1)⁵;

б)  cos³ 2x,        г) cos⁴ (2 — x);        е) (3 — 2х)³.

2238.  Тело совершает гармоническое колебание с амплитудой А, частотой ω и начальной фазой φ. Найти скорость и ускорение этой точки.

2239.  Могут ли две разные функции иметь равные производные? Ответ пояснить примерами.

2240.  Исследовать данные функции и построить их графики:

а) у = х — 3х³;              в) у = cos^{2  x}/₂;

б) у = х⁵ — 4х;               г) у = cos х (1 + sin х).

2241.  Пусть С_n^k= C_n^r. Доказать, что либо k = r, либо k = п — r.

2242.  Доказать, что 1000-е производные функций (2х² + 7)¹⁰⁰ и (7х² + 2)¹⁰⁰ равны друг другу.

2243.  Пусть  (х — 2)¹⁰⁰ = a₀ + а₁х + а₂х² + . . .  + а₁₀₀х¹⁰⁰.       Найти:

а)  а₉₇;

б)  a₀ + а₁ + а₂ + . . .+ а₁₀₀;

в)  а₁ + 2а₂ + 3а₃ + . . . + 100а₁₀₀.

2244.  Доказать, что квадрат суммы п чисел равен сумме квадратов этих чисел, сложенной со всевозможными их удвоенными попарными произведениями.

2245.  Доказать,  что если Т — период функции f (x), то при любом натуральном п  пТ — также период этой функции.

2246.  Доказать тождество

lg (а₁, а₂,. . . a_n) = lg а₁ + lg а₂ + . . . + lg a_n (а₁ > 0, а₂ > 0, . . . , a_n > 0).

2247.  Доказать, что при любом натуральном п sin nx и cos nx выражаются рационально через sin x и cos x.

2248.  Доказать  неравенство

| а₁+ а₂+ а₃+ . . . + a_n |  <  | а₁| + | а₂| + ... + | a_n|.

2249.  Доказать тождество

2250.  Проверить справедливость неравенства

sin ²ⁿ α + cos²ⁿα < 1, где п — натуральное число.

2251.  Доказать что производная суммы любого фиксированного числа дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций.

ОТВЕТЫ