ГЛАВА II.

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА. УРАВНЕНИЯ.

§ 11. Равенство и неравенство. Тождество и уравнение.

179.  Прочитать следующие записи:

1) 3 + 2 = 5; 2) 5>4; 3) 10<12; 4) ³/₄<1;

5) ⁴/₃>1 6) ³/₃=1; 7) 0,64<1; 8) 0,0825<0,1;

9) 5<7<9;  10) 2<2,4<3.

180.  (Устно.) Какой знак, равенства или неравенства, должен стоять между числами:

1)  5 и 3; 2) 0,3 и 0,6; 3) ²/₅ и 0,4; 4)³/₄и  ²/₃;

5) ¹/₈ и 0,125; 6) 0,1 и 0,0936; 7) 0,02 и 0,00894; 8) 3,25 и 3¹/₄;

9) 1,1 и 1,11; 10) 0,5 и 1,5.

181.    Записать   в   виде   неравенства,    что   больше: a + 2 или а + 3; b + 1 или b — 1.

182.  Проверить   равенство:   а + 5 = 5 + а, давая произвольные значения букве а. Как называется это равенство?

183.   1) Дано равенство: а +3 = 8. Показать, что это равенство верно только при а = 5.

2) Найти,, при каком значении  а верно равенство:

10 — а = 7.

184. Проверить: 1) будет ли  число 2 корнем уравнения   3х + 1 = 7;

2) число 8 корнем уравнения 20 — 2х = 4;

3) число 7 корнем уравнения х — 1 = 20 — 2х:;

4) число 4 корнем уравнения 3х — 2 = х + 6.

185.   (Устно.) Определить,  какие из  следующих   равенств —  тождества:

1) 3 + а = a + 3; 2) ху = ух 3) b + 3 =5  

4) 3(a + b) = 3a + 3b;   5) 4а = 20;   6) 3 = ^a/₂;

7) 2х = х + х;    8) 1+ т  = 9.

186.  Решить уравнения (№ 1— 6 устно):

1) x + 7== 10; 2) у + 15 = 21;    3) z + 2,5 = 4;

4) х — 3=12; 5) х —¹/₆ =5;    6) x —1,3 = 3,2; 7) 9 — x = 5;

8) 2¹/₄ — x =1,3;     9) 2³/₄— x =1¹/₃.

187.  Решить задачи при помощи  составления  уравнения:

1)  К числу  а прибавили  20 и  получили  35.. Найти число а.

2)   От  числа   b   отняли   12 и   получили   18.   Найти число b.

3)   К  20   прибавили   неизвестное  число  т  и   получили 54. Чему равно число т?

4)   Какое  число  надо  отнять  от  30 ¹/₃ , чтобы   получить 16,5?

5)  Какое число надо увеличить на 12 ¹/₂, чтобы  получить 22?

188.    (Устно.)   1)  Если  а  и   b —любые  натуральные числа, то   можно  ли   утверждать,   что  решение  (корень) уравнения х — а = b будет  всегда  натуральным числом? Привести примеры.

2)  Если а и b — любые натуральные числа,  то  какие из следующих уравнений не всегда будут иметь решения в области натуральных чисел:

x : a = b;     ax = b;    x + a = b;   x — a = b?  

3)  Какие числа необходимо ввести,  чтобы  уравнение ах = b  имело  решение  при  любых  натуральных  числах а и b?                                                                              .

4)  Какие числа необходимо  ввести,  чтобы уравнение х + а = b имело решение при любых положительных значениях а и b?

5) Можно ли утверждать, что над любыми рациональными числами а и b всегда выполнимо каждое из четырёх арифметических действий?

Решить при помощи составления уравнений следующие задачи:                                  \

189.  Какое число надо прибавить:

1)  к 10, чтобы получить 3?

2)  к 15, чтобы получить (—3)?

3)  к 42,3, чтобы получить 28,8?

4). к (—7,4), чтобы получить 7,4?

190.   1) Какое число надо отнять от числа 5,   чтобы в результате получить 100?

2)  К числу а прибавили 2 и получили в сумме (—5). Найти число а.

3)  Я   задумал число,  прибавил к нему   10 и  получил (—17).  Какое числр я задумал?

4)  Я задумал число, прибавил к нему (— 8)  и получил 15.Какое число я задумал?

191.    Старинная   задача.   Летело  стадо  гусей, навстречу им летит один гусь и говорит; „Здравствуйте, сто гусей!" — „Нас не сто гусей,—отвечает ему   вожак стада, — если бы нас было столько, сколько теперь,   да ещё столько,   да  полстолька,   да  четверть  столька,   да ещё ты, гусь, с нами, так тогда нас было бы сто гусей". Сколько было в стаде гусей?

192.  При выпечке ржаного хлеба получается припёк, составляющий   0,3   веса   взятой   муки.   Сколько   муки нужно  взять,   чтобы получить   26 кг печёного ржаного хлеба?

193.   Длина  прямоугольника  вдвое больше  его ширины.   Периметр   прямоугольника   равен   144 см.  Найти длину и ширину прямоугольника.

194.   Периметр  равнобедренного   треугольника   равен 128 см. Основание его на 2 см меньше боковой стороны. Найти стороны треугольника.

195.  Я задумал число. Если это число увеличить втрое и к полученному произведению прибавить   17,  то получится 62. Найти задуманное число?

196.  На одной чашке весов лежат три равных по весу куска мыла и гиря в 100 г, а на другой чашке их уравновешивает гиря в 1 кг. Сколько весит каждый кусок мыла?

197.  Вес третьего советского искусственного спутника Земли составлял 1327 кг, при этом вес аппаратуры тяжелее веса корпуса на 609 кг. Сколько весила аппаратура спутника?

198.  Общая протяжённость газопроводов Ставрополь — Москва, Дашава—Минск—Ленинград и Берёзово—Свердловск 3900 км. Найти протяжённость каждого газопровода, если первый из них длиннее третьего на 100 км, а  второй длиннее первого также на 100 км.

199.   1) Одно число в 4 раза  больше другого.   Найти эти числа, если их разность равна 15.

2)  Разность двух чисел  равна  8,  а  сумма этих  чисел 42. Найти эти числа.

200.    Кофе   при   жарении   теряет 12%  своего   веса. Сколько   килограммов   свежего  кофе  надо  взять,   чтобы получить 4,4 кг жареного?

201.    Яблоки   при   сушке  теряют   84%  своего   веса. Сколько  надо   взять  свежих   яблок,   чтобы  приготовить 16 кг сушёных?

202.  Юннаты вырастили 900 саженцев  клёна,  дуба и липы. Саженцев клёна было выращено в 2 раза больше, чем дуба, а саженцев липы в 3 раза больше,  чем клёна.. Сколько было выращено отдельно саженцев  клёна,  дуба и липы?

203.   Длина   прямоугольника 40 м,  а  ширина  30 м. Найти сторону квадрата, периметр которого  равен периметру прямоугольника.

Решить следующие уравнения:

204.   1) х + 5 = — 2;     2) 7 + х  = 3;    3) (—8) +  х  = 5;

4)  (—1) + х  = —3; 5) (—6) + х  = 0;       '

6)  | х | + 1= 4;     7) | х +1| = 4.

205.  1) х  + (— 2) = — 5; 2) (+5) — а = — 12;

3) т — (— 8)=13;      4) n— (+l ²/₅) = — 4¹/₂;

5)  (—6) + q = — 1; 6) d— (— 8) = 0;

7)  (— 15,4) + х = 0;   8) 0 — y = — 0,5;

9) (— l) + z = 0,32; 10) u — {— 1) = 0,135.

206.  Решить уравнения:

1) 3x —2 = —17;   2) 4а + 3== — 13;

3)  34 — 3x = — 20; 4) ^a/₅ + 3 = —7;

5) ⁿ/₄ — 2 = — 5;         6) 5 — ¹²/_k == — 3;

7) 4 + ¹⁵/_x = — 8;    .   8) 0,6 x — 4 = — 2,8;

9) 0,12 + 0,8x = — 0,08;    10) 1¹/₄  x—5³/₈ = — 6¹/₂;

11) 3⁵/₆ — 4 ¹/₅ х == — 2⁷/₁₂;   12) 0,4x — 12,03 = 0,13;

13) 0,1— 0,01x = — 1;      14) 0,02x —1,008 = 0,002.

207.  Решить уравнения:

Задачи   208—209   решить   при   помощи   составления уравнений.

208.   Бригада лесорубов заготовила за три дня 184 кубометра дров, причём в первый день бригада перевыполнила дневной   план   на   14  кубометров;  во второй день бригада   заготовила  на  2  кубометра  меньше  планового задания, а на третий  день  она  перевыполнила  план  на 16 кубометров. Сколько кубометров дров бригада должна была заготовлять ежедневно по плану?

209.   1) Из двух смежных углов один в 5 раз больше другого. Найти величину каждого угла.

2) Из двух смежных углов один на  30° больше другого. Найти величину каждого, угла.

210.  Составить и решить задачу, в  которой требуется найти два числа:

1)  по их сумме и разности;

2)  по их сумме и отношению.

211.  В равнобедренном треугольнике  боковая сторона  вдвое  больше  основания   треугольника.   Найти стjроны треугольника, зная, что его периметр равен 75 см.

212. Угол при  вершине равнобедренного треугольника на 15° больше угла при его основании. Найти углы этого  треугольника, зная, что их сумма равна 180°.

213.  Составить задачу,   решение  которой  привело бы   к  составлению следующего уравнения:

x + 2x = 30

214.   Среднее   арифметическое трёх  чисел   равно 8,6. Одно из чисел равно 9,1, второе равно 8,3. Найти третье число.

ОТВЕТЫ