ГЛАВА III

ДЕЙСТВИЯ   НАД  ЦЕЛЫМИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ   ВЫРАЖЕНИЯМИ.

§ 21. Возведение одночленов в натуральную степень. Умножение по формулам.

Возвысить одночлены в степень   (№,464, 465 устно):

475. При помощи данного чертежа пояснить геометрический смысл формулы

(а + b)(а — b) = а² — b²,

если а и b выражают длины отрезков и  а > b (черт. 25).

Выполнить действия   (№ 476—485 устно):

486. Выполнить вычисления, используя формулу

(а + b)(а — b) = a² — b²

Например:

Выполнить действия:

493. Доказать тождества:

Решить уравнения:

494.   1) x(x+ 2) — (x+3)(x— 3)=13;

2) 4x(x— 1) — (2x+ 5) (2x — 5) = 1|

495.   1) 3x — 5(x+1)(x— 1) + 5(x+ 2)(x— 2) = 6;    

2) 3(2x+1)(2x— 1) — 4 (3x— 2) (3x+2)+ 6x (4x +1) = 31.

496.  При помощи данных чертежей пояснить геометрический смысл формул:

1) (a + b)² = а²+ 2ab + b² (черт,: 26);

2) (a — b)² = а²— 2ab + b²  (черт. 27), если   а и b  выражают длины отрезков и а >b.

Выполнить действия с помощью формул сокращённого умножения (№ 497—503 устно):

514.  Доказать справедливость следующих равенств:

1) (a — b)² = (b—a)²;     2) (—а—b)²=(а + b)².

515.   Какое   выражение   надо   прибавить   к   (a — b)², чтобы получить  (a+b)² ?

516.  Следующие трехчлены  представить в   виде квадрата двучлена:

1) x² + 2 x +1;             2) 4а ² + 4аb + b²;

3) т² — 6тп + 9n²;      4) 25 x² + 20xу + 4у²

517.   Дополнить   следующие   выражения   до   полного квадрата двучлена:

1) m² — 2тп + ?;            2) 4а² + 12аb + ?;

3) 25x² + ? + 49b²;         4) 1—2а + ?;    5) 1 + ? + 25b².

518.  Выделить квадрат двучлена в следующих трёхчленах:

1) а² + 6а + 13;         2) x²—10х + 27;

3) x² + 8х + 21; .      4) х² —2x + 3.

519.   Применить  формулу   (а ± b)² = а²± 2аb + b²   в следующих вычислениях:

1) 31²;   2) 51²;    3) 39²;        4) 103²;    5) 99²;     6) 45²;

7) 78²;   8) 999²; 9) 1001²;   10) 98²;   11) 105²;   12) 5,1².

Выполнить действия:

530*. 1) Доказать, что разность квадратов двух последовательных целых чисел есть число нечётное.

2) Доказать, что если к произведению двух последовательных целых чисел прибавить большее из них, то получится квадрат большего числа.

Решить   уравнения:

Упростить выражения и вычислить результат:

Выполнить действия:

Упростить выражения и вычислить результат:

Решить уравнения:

555*. Формула ( l ± a )( l ± b) ≈ l ± (a + b) даёт возможность вычислить приближённо произведение двух чисел, у которых а и b малы  в  сравнении  с единицей.

Пользуясь этой формулой, вычислить приближённое произведение следующих чисел и найти абсолютную ошибку произведения:

1) 1,004 • 1,002;   2) 1,003• 1,001;   3) 1,003• 1,002; ,

4) 1,004• 1,005;   5) 0,997• 0,998;   6) 1,003 • 0,998.

556*. Формула (1 ± a)² ≈ l ± 2а даёт возможность вычислить приближённо квадрат числa    l ± а, где а мало в сравнении с единицей. Пользуясь этой формулой, вычислить приближённо квадраты следующих чисел и найти абсолютную ошибку  полученного квадрата числа:

1) (1,002)²;    2) (1,003)²;    3) (0,999)²;    4) (0,998)².

557*. Формула (1 ± а)³ ≈ l ± 3а даёт возможность вычислить приближённо куб числа      1 ± а, где а мало в сравнении с единицей.

Пользуясь этой формулой, вычислить приближённо кубы следующих чисел и найти абсолютную ошибку полученного куба числа:

1) (1,02)³;    2) (1,01)³;    3) (1,002)³; .     4) (0,99)³;    5) (0,98)³;    6) (0,999)³.

Задачи  и  упражнения для повторения.

Выполнить действия и упростить:

560. Решить уравнения:

Доказать тождества:

563. Решить задачу при  помощи составления уравнения:

С участка площадью в 52 ¹/₂ га колхоз собрал картофеля на 14 тонн больше, чем с участка площадью в 56 га. Определить урожайность с одного гектара на каждом участке отдельно, зная, что с одного гектара на первом участке собирали картофеля в среднем на 2 тонны больше, чем с одного гектара на втором.

564. Вычислить, применяя формулы умножения:

1) (10,02)² ;   2) 6,67² —2,33² ;   3) 9,98².

ОТВЕТЫ