ГЛАВА VII

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ.

§ 40.  Задачи  на составление уравнений.

1181. Числитель дроби на два меньше знаменателя. Если числитель дроби уменьшить в 3 раза, а к знаменателю прибавить 3, то получится ¹/₈.  Найти дробь.

1182.  Знаменатель дроби  на  4 больше её числителя. Если увеличить её числитель и знаменатель на 1, то дробь обратится в ¹/₂ . Найти дробь.

1183.  Знаменатель дроби на 4 больше её числителя. Если к числителю этой дроби прибавить 11, а от знаменателя отнять 1, то  получится дробь,  обратная данной. Найти, дробь.

1184.  Знаменатель  дроби  на  5 больше её числителя: Если к числителю этой дроби прибавить 14, а от знаменателя отнять 1, то получится дробь,  обратная данной. Найти дробь.

1185.  Одно из  неизвестных  чисел на 12 больше другого. Если меньшее число разделить на 7, а большее разделить на 5, то первое частное будет на 4 меньше второго частного. Найти числа.

1186.  Два положительных числа относятся,   как 3:2. Если меньшее из них разделить на 4,  а большее разделить на 9, то первое частное будет на 4 больше второго частного. Найти числа.

1187. Расстояние  между  городами А и В равно 50 км. Из города А в город В отвравилсявелосипедист, а через 1 час   30 мин. вслед  за ним отправился мотоциклист, который обогнал велосипедиста и прибыл в город В на 1 час раньше его.  Найти скорость каждого,  зная, что мотоциклист двигался со скоростью, в 2,5 раза , большей, чем велосипедист.

1188.  Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 160 км, отправился автобус, а через два часа вслед за ним выехал легковой автомобиль, скорость которого относилась к  скорости  автобуса,   как  3 : 1 . Найти скорость автобуса и   автомобиля,   зная, что автомобиль прибыл в  пункт В на 40 мин. раньше автрбуса.

1189.  Два поезда отправляются  из  одного и того же, города друг за другом.  Первый  поезд; проходит в час 36 км, а второй 48 км. Через сколько часов после своего  выхода второй поезд догонит первый,  если  известно, что первый поезд был отправлен на 2 часа раньше второго?

1190.  Путь от города А до города В по морю на 10 км короче, чем путь по шоссе. Пароход проходит путь от А  до В за 3 часа 20 мин., а автомобиль — за  2 часа. Сколько километров в час проходит  пароход,   если  его скорость на 17 км в час меньше скорости автомобиля?

1191. Расстояние между двумя станциями электропоезд проходит за 1час 30 мин.  Если скорость его  увеличить на 10 км в час, то это же  расстояние  поезд  пройдёт, за 1 час 20 мин. Определить расстояние между станциями.

1192.   Расстояние  от города  А  до города В автобус проходит по расписанию  со средней  скоростью 40 км в час. Однажды вследствие  ремонта шоссе автобус прошёл первую   половину   пути с опозданием на 20 мин. Чтобы прийти в В по расписанию, автобус оставшуюся часть пути   шёл со скоростью 45 км в час. Найти расстояние от А до В.

1193.   С двух аэродромов, расстояние между которыми равно 950  км,   вылетели   одновременно  навстречу друг другу двухмоторный и реактивный самолёты. Через полчаса расстояние между этими самолётами до встречи было  равно 150 км. Haйти скорость каждого самолёта, если скорость реактивного самолёта  в  3 раза—больше скорости двухмоторного.

1194.  Подъёмная скорость лифта в московских высотных зданиях в два раза   больше  скорости  лифта в обычных   зданиях, а потому подъём на высоту 20-го этажа, равную 81м , требует времени лишь на 5 сек. больше, чем подъём на высоту 8-го этажа обычного здания, равную 33 м. Найти скорость каждого лифта.

1195.  Переднее колесо повозки на некотором расстоянии сделало на   15 оборотов более  заднего. Окружность переднего колеса   равна   2,5 м, а заднего 4 .м. Сколько оборотов сделало каждое колесо и какое расстояние проехала повозка?

1196.   Два  шкива    соединены   бесконечным   ремнём. Окружность первого шкива равна 60 см, а второго 35 см. Сколько оборотов в  минуту   сделает второй шкив, если., первый делает 84 оборота в минуту?

1197.  Диаметр   шкива электромотора, делающего 960 оборотов   в   минуту,   равен   150   мм.   На   сколько надо уменьшить диаметр  шкива,   чтобы при увеличении числа оборотов электромотора до   1200 в минуту скорость движения приводного ремня осталась прежней?

1198.   Заказ   по   выпуску   машин   завод   должен был выполнить за 15 дней. Но уже за два дня до срока завод не только выполнил план, но выпустил сверх плана ещё 6 машин, так   как  ежедневно выпускал  по две машины сверх плана. Сколько машин должен был выпустить завод по плану?

1199. Бригада коммунистического труда должна была выполнить заказ за 10 дней. Ежедневно перевыполняя норму на 27 деталей, бригада за 7 дней работы не только выполнила задание, но ещё изготовила сверх нормы 54 детали. Сколько деталей в день изготовляла бригада?

1200.  За семичасовой рабочий день токарь должен был по норме обточить некоторое количество деталей. Применив новый резец, токарь стал в каждый час изготавливать на 5 деталей больше, чем полагалось по норме, а потому  за 6 час. работы он выполнил три нормы. Сколько деталей в час стал обтачивать токарь, применяя новый резец?

1201.  Вес научных приборов в первых трёх советских космических ракетах составил 1186,3 кг, причём приборы первой ракеты весили на  28,7  кг меньше,   чем приборы второй ракеты, а отношение веса приборов второй ракеты к весу приборов третьей ракеты равно 26: 29. Определить вес научных приборов второй космической ракеты.

1202.  Общая площадь двух участков, засеянных кукурузой, равна 120 га. На первом участке с одного гектара собирали по 89 т зелёной   массы   кукурузы,   на втором участке  -  по 95 т. Найти площадь каждого участка, если с первого собрано кукурузы на 1480 т больше, чем со второго.

1203.  Два экскаватора вырыли котлован для колхозной электростанции в 24 дня. Первый экскаватор один мог бы  выполнить эту работу в 1¹/₂ раза скорее, чем один второй. Во сколько дней каждый из этих экскаваторов  мог бы выполнить эту работу?

1204.  Группа  школьников  отправляется от пристани на моторной лодке вверх против течения реки с условием возвратиться обратно через 5 час. после выезда. Скорость моторной лодки в стоячей воде  12,5 км в час, скорость течения реки 2,5 км в час. На какое наибольшее расстояние школьники могут отплыть от пристани, если, перед тем как возвращаться обратно,   они пробудут   на берегу 3 часа?

1205.  Чтобы переписать рукопись в 71 страницу, две машинистки работали вместе 4 часа и, кроме того, вторая машинистка работала одна ещё 2¹/₂ часа.   Если   бы   обе машинистки работали вместе 4 ³/₄ часа, то, чтобы закончить работу, второй машинистке пришлось бы одной работать ещё 45 мин. Сколько страниц в час переписывает каждая машинистка отдельно?

1206.  Чтобы   изготовить   290   деталей,   двое   рабочих работали вместе 4 часа  и,   кроме того,   первый рабочий работал ещё 3¹/₂ часа. Если бы вместе они работали 5 час, то оставшуюся часть работы закончил бы один второй рабочий за 2 часа 30 мин. Сколько деталей в час изготовлял каждый   рабочий  отдельно?

1207.   На рычаг  первого  рода, находящийся в равновесии, действуют силы в 8 кГ и 10 кГ. Расстояние между точками приложений сил равно 90 см. Найти длину плеч рычага.

1208.  Два мальчика   весом  30  кГ и 50  кГ встали на концах доски, перекинутой   через бревно. В каком месте   доска должна иметь опору, чтобы мальчики были в равновесии, если длина доски равна 4 м?

1209.  К рычагу   первого рода   привешены два груза: один — на расстоянии 30 см  от точки опоры, другой — на расстоянии 50 см, от неё. Сколько весит каждый груз, если давление на точку опоры равно 40 кГ?

1210. 1) Смешивают 2 кг  горячей   воды и 3 кг воды при температуре 10°. Температура смеси оказалась равной 40°.   Найти  температуру взятой для смеси горячей воды.

2) Сколько следует взять кипящей воды (100°) и воды комнатной температуры (16°), чтобы получить 100 л воды температуры в 58°?

1211. 1) Сплав из золота и серебра весом 1,06 кГ при погружении в воду «теряет» 70 Г. Сколько в этом сплаве золота и серебра, если известно, что золото «теряет» в воде ¹/₁₉ своего веса, а серебро «теряет» 0,1 своего веса?

2) Сплав, состоящий из олова и свинца, весит 166 Г. Сколько в нём содержится олова и сколько свинца, если удельный вес олова 7,3 Г/см³, удельный вес свинца 11,3 Г/см³, а удельный вес сплава 8,3Г/см³?

1212. Ледяная глыба плавает в морской воде, причём объём её надводной части равен 2000 м³. Как приблизительно велик объём всей глыбы,  если удельный вес морской воды   равен   1,03Г/см³, а удельный вес льда 0,9Г/см³.

1213.  Два экскаватора вырыли котлован для колхозной электростанции за 12 дней. Первый экскаватор один мог бы выполнить эту работу в 1 ¹/₂  раза   скорее,   чем  один второй. За сколько дней каждый из экскаваторов мог бы выполнить один всю эту работу?

1214.  Для откачивания воды из шахты поставлены три насоса. Первый насос,   действуя  один,   может выкачать воду за 12 час, а второй — за 15 час. и третий — за 20 час. Первые три часа действовали   первый   и третий насосы, а затем к ним был присоединён и второй насос. Сколько всего времени   потребовалось  для   откачивания воды из шахты?

1215*. Пассажир, ехавший в поезде со скоростью 40 км в час, заметил, что встречный поезд прошёл мимо него за 3 сек. Определить скорость встречного поезда, если известно, что длина его 75 м.

1216*. Колонна демонстрантов движется по улице со скоростью 3 км в час. Велосипедист, двигаясь навстречу колонне со скоростью 15 км в час, употребил 2мин. для того, чтобы проехать от начала до конца колонны. Определить длину колонны демонстрантов.

1217. В  городе в  настоящее  время; 48400 жителей. Известно,   что    население   этого   города увеличивалось , ежегодно на   10%. Сколько жителей было в городе два года назад?

1218. Бригада косцов в первый день скосила половину луга и ещё 2 га, а во второй день 25% оставшейся части луга и последние 6 га. Найти площадь луга.

1219. В первую поездку автомобиль израсходовал 25% бензина,  имевшегося в баке, затем во вторую  20% остатка. После этого  в баке осталось бензина на 12 л больше, чем  было   израсходовано  в оба раза.   Сколько литров бензина было первоначально в баке?

1220.  Книга в переплёте  стоит  2  руб. 40 коп., причём    стоимость   переплёта   составляет. 20%   стоимости книги без   переплёта.   Найти   стоимость книги без переплета.

1221. Население   города  к   концу   года, было равно 78 000 человек. Определить число жителей города в начале года, если известно, что прирост населения составил за это время 4%.

1222.  Два завода должны  были выпустить по плану 360 станков в месяц.   Первый  завод выполнил план на 112%, а второй на 110%,   и поэтому оба завода выпустили за месяц 400 станков. Сколько станков сверх плана выпустил каждый завод отдельно?

1223.   Автомобиль   прошёл   расстояние  от  города до деревни со скоростью 60 км в час.  Возвращаясь обратно, он   75%   расстояния   прошёл   с  прежней  скоростью, а  остальной путь со  скоростью  40 км  в час,   а потому и затратил на обратный  путь  на  10 мин. больше, чем на путь от города до деревни.  Найти расстояние от города до деревни.

1224.  Экскурсанты взяли на 3 часа лодку и отправились   по   течению   реки.   На   сколько   километров  они могут отплыть от  пристани,   чтобы успеть через 3 часа   возвратиться обратно, если известно что скорость лодки в стоячей воде 7,5  км  в час,   а скорость течения  реки 2,5 км в час?

1225.  На сколько километров можно отплыть от пристани против течения реки  на лодке, скорость которой  в стоячей воде равна 8 км в час, чтобы успеть вернуться обратно через 4 часа, если скорость течения реки 2 км в час?

Составление уравнений с  буквенными коэффициентами.

Решить в общем виде задачи на составление уравнений с буквенными коэффициентами и вычислить по найденной формуле числовое значение неизвестного, давая буквам числовые значения, допустимые по условию и смыслу задачи.

1226.  На т рублей куплено d килограммов кофе двух сортов по а рублей и по b рублей за килограмм. Сколько килограммов кофе каждого сорта куплено?

1227.  В двух элеваторах ссыпано р тонн зерна. Из первого элеватора   ежедневно  берут  по  а  тонн  зерна,   из второго — по b тонн. Через t дней   в обоих элеваторах осталось зерна поровну.   Сколько   тонн зерна было ссыпано отдельно в каждый элеватор?

1228.  Окружность переднего колеса трактора k метров, окружность заднего l метров. На  каком расстоянии переднее колесо сделает на п оборотов больше, чем заднее?

1229.  Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить заказ   в t дней.   Первый   рабочий   может   сделать  эту работу в а дней.   Во  сколько  дней   мог  бы выполнить заказ второй рабочий, работая один?

1230. Для выполнения плана тракторист должен ежедневно пахать по а гектаров. Перевыполняя норму на b гектаров в день; тракторист закончил работу на t дней раньше срока и успел вспахать за это время т гектаров сверх плана. Сколько гектаров пашни должен был вспахать тракторист по плану?

1231.  С аэродрома одновременно вылетели в город А по одному и тому же направлению два самолёта. Первый самолёт летел  со  скоростью  v  км  в   час,   а  скoрость второго самолёта была на d км в час меньше.  Определить расстояние от аэродрома до города A, если известно, что второй самолёт прибыл туда на t часов позже, чем первый.

1232.  Два поезда вышли одновременно навстречу друг другу   со   станций   А   и   В.   Первый   поезд   проходил в  час v километров,   а  второй  v₁  километров.   Через t часов, но ещё до их встречи расстояние между поездами было равно s километрам. Определить длину железной дороги между станциями  А и В.

1233.  Из   города  А со скоростью ,v км в час  выехал велосипедист. Через t часов вслед за ним из этого города отправился мотоциклист со скоростью v₁ км в час. Через, сколько часов после своего выхода и на каком расстоянии от города А мотоциклист догонит велосипедиста (v₁>v)?

Старинные  задачи и задачи-шутки.

1234.  Пифагор на вопрос о числе учеников ,  посещающих его школу,  ответил,  по  преданию,  так:  «Половина учеников изучает математику, четверть— музыку, седьмая часть пребывает  в молчании   и,   кроме  того,   есть, ещё три женщины». Сколько было учеников у Пифагора?

1235.  Надпись на камне  над могилой Диофанта (греческий математик, III в. н. э.): «Здесь погребён Диофанти и камень  могильный   расскажет,   сколь  долог  был век его  жизни.    Часть   шестую   её   составляло   прекрасное детство,   двенадцатой   части   равна его светлая  юность. Ещё   часть    седьмая    прошла — браком    себя   сочетал. Пять лет прошло — и послал   Гименей  ему сына, коему рок половину лишь жизни прекрасной дал по сравненью с отцом. И в печали глубокой старец кончину воспринял, четыре лишь года с тех пор прожив, как сына лишился" Скажи мне, скольких лет жизни достигнув, смерти воспринял Диофант?»

Задача  Бхаскары  (индусский математик XII в.):

1236.  «Есть кадамба цветок;   на один лепесток пчёлок пятая часть опустилась. Рядом тут же росла вся в цвету симендга, и на ней  третья  часть  поместилась.   Разность их ты найди, трижды их ты сложи, на кутай этих пчёл посади. Лишь одна не нашла  себе   места нигде, всё летала то взад, то  вперёд,   и   везде   ароматом  цветов наслаждалась.   Назови   теперь   мне,   подсчитавши   в   уме,  сколько пчёлок всего здесь собралось?»

Задача из «Арифметики»   Магницкого  (1703 г.):

1237.   «Послан    человек    с   Москвы   на  Вологду,  и велено ему в хождении своём совершати на всякий день по 40 вёрст, потом  другий   человек   в  другий   (на следующий) день, послан в след его, и велено ему идти на день 45 вёрст,   и  ведательно есть,  в коликий день постигнет (догонит) второй первого?»

Задачи  из   «Курса чистой  математики» Войтяховского (1811 г.):

1238. «Капитан  на  вопрос,  сколько имеет в команде своей людей, ответствовал, что  ²/₅  его  команды в карауле, ²/₇ в работе, ¹/₄ в лазарете да  27  человек налицо; спрашивается число людей его команды».

1239. «Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который перебегает  в 2 минуты по 500 сажен, а собака в 5 минут 1300 сажен. Спрашивается, в какое время собака догонит зайца?»

1240.  По преданию, чешская народоправительница Любуша решила выйти замуж за того из женихов, который решит следующую задачу: «Сколько слив было в корзине, из которой она дала первому жениху половину всех имевшихся в ней слив и ещё одну, второму половину остатка и ещё одну, третьему половину нового остатка и ещё 3 сливы, после чего в корзине ничего не осталось?»

1241.   Бутылка  с  пробкой  стоит  11   коп.   Бутылка стоит  на   10   коп.  дороже,   чем  пробка. Сколько стоит бутылка и сколько  стоит пробка?

1242. Собака гонится за лошадью. Собака делает 6 скачков, когда лошадь делает только 5, и в 4 скачка собака пробегает то же расстояние, какое лошадь пробегает в 7 скачков. Лошадь успела проскакать 5,5 км, когда ей вдогонку побежала собака. Какое расстояние успеет ещё пробежать лошадь,  пока её догонит собака?

1243.  Разносчик  продал  первому   покупателю   половину имевшихся у него апельсинов и ещё пол-апельсина, второму покупателю — половину  оставшихся апельсинов и, ещё  пол-апельсина;   таким   же   образом  продал  он апельсины  и  остальным   покупателям.  Когда  подошёл седьмой покупатель, то у разносчика уже ничего не осталось. Сколько апельсинов было у разносчика и сколько взял каждый из покупателей?

1244.  Задумайте   какое-нибудь   число,   умножьте  его: на 2, прибавьте  к  произведению  30,  полученное число разделите на 2, от результата отнимите задуманное число, и тогда в ответе получится 15. Объясните, почему при любом задуманном числе ответ всегда будет равен 15.

Задачи и упражнения для повторения.

1245. Выполнить действия:

1246. Решить уравнение:

1247. Найти числовое значение выражения, предварительно упростив его:  

1248.  При каком значении буквы а дробь обращается в нуль?

1249.  Определить х из уравнения:

Решить  задачи:

1250.  На постройке плотины для водохранилища работали два экскаватора и выполнили намеченную по плану  работу в 40 дней. Первый экскаватор мог бы  один выполнить эту работу в 2¹/₂ раза скорее, чем  один второй. За сколько дней каждый экскаватор один мог бы выполнить эту  работу?

1251.  В 9 часов утра из пионерского лагеря вышла на  экскурсию группа пионеров. За первый час пути пионеры   прошли 4 км, затем на  подъёме они. в течение часа прошли 3 км, после чего был объявлен на 30 минут привал. Проходя дальше по 4 км в час, пионеры дошли до конечного пункта через два часа после привала.

1) Построить график движения пионеров.

2)  Определить по графику,  на каком расстоянии от лагеря пионеры были  в   12  часов дня? остановились на привал? сколько километров прошли пионеры до конечного пункта?

3)  В какое время дня пионеры находились от лагеря на расстоянии 9 км?

1252. Выполнить действия:

1253.  При каком значении  буквы а дробь не имеет смысла?

1254.  Найти числовое значение выражения, предварительно упростив его:

1255. Решить уравнение:

1256. Определить п из уравнения

1257. Решить задачу:

Из Москвы в Ташкент вылетел двухмоторный самолёт. Через два часа в том же направлении вылетел из Москвы реактивный самолёт, который догнал двухмоторный самолёт на расстоянии 1200 км от Москвы. Найти скорость каждого из этих самолётов, если двухмоторный самолёт пролетает в час расстояние в 2,5 раза меньшее, чем реактивный самолёт

ОТВЕТЫ