ГЛАВА  XIII

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ.

§ 59. Решение задач, приводящих к квадратным уравнениям.

1687.  С аэродрома   вылетают   одновременно в  пункт, отстоящий  от него  на 1600 км,   два самолёта.   Скорость одного из них на 80 км в час больше скорости другого, а потому он прилетает к месту назначения  на час раньше. Найти скорость каждого самолёта.

1688.    Два   автомобиля   выезжают   одновременно   из одного города   в другой.   Скорость   первого  на 10 км  в час больше скорости  второго,   и  поэтому   первый   автомобиль   приезжает  на вместо  на   1 час   раньше   второго. Определить скорость  того  и другого  автомобилей, если известно, что расстояние между городами 560 км.

1689.   В зрительном зале клуба было 320 мест. После того как  число  мест в каждом ряду  увеличили  на 4 и добавили  ещё  один   ряд,   в зрительном  зале  стало  420 мест.   Сколько   стало   рядов   в зрительном   зале   клуба?

1690.   Теплоход  прошёл   по  течению   реки  48  км  и столько же против течения и употребил на весь путь 5 час. Определить скорость теплохода в стоячей воде, если считать скорость течения реки 4 км в час.

1691.   Расстояние  между   двумя   пристанями  по реке равно 80 км. Пароход проходит этот путь туда, и обратно за 8 час. 20 мин.  Определись скорость парохода в стоячей воде, считая скорость течения  реки  равной 4км  в час.

1692.  Лодка против течения прошла 22,5 км и по течению  28,5 км,   затратив   на  весь путь   8 час.  Скорость течения реки 2,5 км в час. Определить скорость движения лодки.  в стоячей воде.

1693.  Из пункта А отправили по течению реки  плот. Через 5 час. 20 мин. вслед за плотом из того же пункта вышла моторная   лодка,   которая  догнала  плот,   пройдя 20 км. Сколько  километров  в час  проходил  плот,  если моторная лодка шла быстрее его на 12 км в час?

1694.  Электропоезд был задержан в пути на 4 мин. и ликвидировал опоздание на перегоне в 20 км, пройдя его со  скоростью  на   10  км  в час  большей   той,   которая полагалась  по расписанию.   Определить   скорость поезда на этом перегоне по расписанию.

1695.   На середине пути между станциями А и В поезд был задержан на 10 мин. Чтобы прийти в В по расписанию, машинисту пришлось первоначальную скорость поезда увеличить на 12 км в час. Найти первоначальную скорость поезда,   если известно,   что расстояние между станциями равно 120 км.

1696. Тепловоз, пройдя первый перегон в 24 км, был задержан на некоторое время, а потому следующий перегон проходил со скоростью, большей прежней на 4 км в час. Несмотря на то что второй перегон был длиннее первого на 14 км, тепловоз прошёл его за время только на 10 мин. большее, чем потребовалось на прохождение первого перегона. Определить первоначальную скорость тепловоза.

1697.  Электровоз должен был пройти 840 км. В середине пути он был задержан на 20 мин., и поэтому, чтобы прибыть   вовремя,   он   должен   был   увеличить скорость на 6 км в час.  Сколько времени электровоз затратил на весь путь?

1698.  Расстояние по реке от одной пристани до другой, равное 30 км, моторная   лодка  проходит туда и обратно за 6 час, затрачивая  из этого времени 40 мин. на остановки   в   пути.    Найти  собственную   скорость   моторной лодки (то есть скорость её в стоячей воде), если скорость течения реки равна 3 км в час.

1699.  Две бригады  комсомольцев,   работая совместно, закончили  посадку  деревьев  на учебно-опытном участке за 4 дня. Сколько дней потребовалось бы на  выполнение этой работы каждой бригаде отдельно, если одна из бригад  могла бы закончить посадку деревьев на 6 дней скорее другой?

1700. Водонапорный бак наполняется двумя трубами за  2 часа 55 мин.. Первая труба  может наполнить его на 2 часа скорее  чем вторая. За сколько времени каждая труба, действуя отдельно, может наполнить бак?

1701.   Спортивная   площадка  прямоугольной; формы имеет площадь, равную 720 кв. м. Если длину площадки увеличить на 6 м, а ширину уменьшить на 4 м, то получится, прямоугольник, равновеликий  первому. Найти длину и ширину спортивной площадки.

1702.  Две  молотилки  обмолачивают собранную  пшеницу за 4 дня.   Если бы  одна   из них обмолотила половину всей пшеницы,   а затем вторая остальную часть, то вся работа была бы окончена за 9 дней. За сколько дней каждая, молотилка   в отдельности  могла   бы  обмолотить всю пшеницу?

1703.  Двое рабочих,  выполняя определённое задание вместе, могли бы закончить его за 12 дней. Если сначала будет работать только один из них, а когда он выполнит половину всей работы, его сменит второй рабрчий, то всё задание будет  закончено за  25 дней.  За сколько  дней каждый  рабочий   в   отдельности   может   выполнить   всё задание?

1704.   Два   сварщика,   из   которых   второй   начинает работу 1¹/₂  днями позже первого, могут выполнить работу за 7 дней.  За сколько дней каждый из них отдельно мог  бы выполнить эту работу, если известно, что второй сварщик может  выполнить  эту работу  на 3 дня скорее, чем первый?

1705.  Из Москвы  в Нью-Йорк  по одному и тому  же маршруту вылетели одновременно американский реактивный самолёт и самолёт «ТУ-104 А».  Самолёт «ТУ-104 А»  делал в час на 100 км больше, чем американский самолёт, и прибыл в Нью-Йорк  на 1 час раньше  американского самолёта. Определить скорости самолётов, если расстояние от Москвы до Нью-Йорка приблизительно равно 9000 км.

1706.  Для  перевозки 15 т овощей было затребовано  несколько грузовиков определённой грузоподъёмности. За неимением свободных  грузовиков этой грузоподъёмности гараж выслал грузовики с грузоподъёмностью на полтонны   меньше и дал таких грузовиков на один больше. Сколько тонн овощей взял каждый из высланных грузовиков?

1707.  Колхоз должен был засеять 200 га к определённому  сроку,   но он засевал  ежедневно  на 5 га  больше, чем  намечалось  по. плану,   и  поэтому  закончил сев  на 2 дня раньше срока. За сколько дней был закончен сев?

1708.   Бригада лесорубов должна была по плану заготовить   в несколько дней  216 м³ дров.   Первые  3 дня бригада выполняла ежедневно установленную планом норму, а затем каждый день заготовляла по 8 м³ сверх плана; поэтому уже за день до срока было заготовлено   232 м³ дров.   Сколько  дров  в день  должна   была  заготовлять бригада по плану?

1709.  Два автомобиля вышли одновременно из городов А   и  В  навстречу  друг  другу.   Через   час   автомобили встретились и, не останавливаясь, продолжали путь с той же  скоростью.   Первый   прибыл  в В на  27 мин. позже, чем   второй   прибыл   в   город   А.   Определить   скорость каждого автомобиля, если известно, что расстояние между городами 90 км.

1710. Два велосипедиста выезжают одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В, расстояние между которыми 28 км,  и через час встречаются. Не останавливаясь, они продолжают путь с той же скоростью, и первый прибывает в пункт В на 35 мин. скорее, чем второй в пункт А. Определить скорость каждого велосипедиста.

1711.  Из  двух  пунктов   А   и  В,   расстояние   между которыми 24 км,  отправлены в одно  и то же время два автомобиля навстречу друг другу. После их встречи автомобиль, вышедший из А, приходит в В через 16 мин., а другой автомобиль приходит в А через 4 мин. Определить скорость каждого автомобиля.

1712.    С   двух    аэродромов   вылетают   одновременно навстречу   друг   другу   вертолёт  и  учебный самолёт.   К моменту встречи вертолёт прошёл на 100 км меньше самолёта. Остальной путь самолёт покрывает за 1 час 20 мин., а вертолёт — за 3 часа. Найти расстояние между аэродромами и скорость самолёта и вертолёта.

1713.  Цена ткани была снижена на столько процентов, сколько рублей  стоил метр ткани до снижения цен.   На сколько  процентов  была  снижена  цена   на ткань,   если метр этой ткани стали продавать по 16 руб.?

1714. После двух  последовательных снижений цен на одно и то же число процентов цена фотоаппарата снизилась с 30 руб. до 19 руб. 20 коп. На сколько процентов снижалась цена фотоаппарата каждый раз?

1715. Население    города    (приближённо)    за    два года   увеличилось  с   20000   до   22050   человек.   Найти средний ежегодный процент роста населения этого города.

1716.    За   4 дня  совместной   работы  двух   тракторов различной мощности было вспахано ²/₃ колхозного   поля. За сколько дней можно было бы вспахать всё поле каждым трактором отдельно, если первым трактором можно вспахать всё поле на 5 дней скорее,   чем вторым трактором?

1717.  Периметр прямоугольника равен 28 см, а сумма площадей   квадратов,   построенных на смежных сторонах прямоугольника,   равна  116 см².   Найти  стороны прямоугольника.

1718.  Периметр  прямоугольника  равен  46 см, а диагональ   его   равна   17  см.   Найти   стороны   прямоугольника.

1719.  Прямоугольный участок земли площадью в 2400 м²  обнесён изгородью,   длина   которой равна 200 м.   Найти длину и ширину этого участка.

1720. Площадь прямоугольного треугольника равна 180 см². Найти катеты этого треугольника, если один больше другого на 31 см.

1721. Периметр   прямоугольного  треугольника   равен 48 см, а его площадь  96 см².  Найти стороны треугольника.

1722. Среднее арифметическое двух чисел равно 20, a среднее геометрическое 12. Найти эти числа.

1723.  Среднее арифметическое двух чисел 17,   а среднее геометрическое 15. Найти эти числа.

1724.  Радиус одного круга  на 1 дм больше другого. Сумма площадей этих кругов приближённо равна 78,5 дм² Найти радиусы кругов.

1725. Высота цилиндра на 2 см больше радиуса его основания. Найти высоту цилиндра, если его поверхность приближённо равна 704 см². Ответ дать с точностью до 1 мм.

1726. Учёт урожая двух соревнующихся колхозных бригад показал, что на участке первой бригады было, собрано  200 ц пшеницы,  а на участке второй бригады, имеющем, площадь на 2 га больше, собрано 300 ц пшеницы при урожае на 5 ц с гектара большем, чем на первом участке. Найти площадь каждого участка земли и количество собранной пшеницы с 1 га того и другого участка.

1727.  Дорога между пунктами А и В состоит из подъёма и спуска. Велосипедист, двигаясь на спуске  со скоростью, на 6 км в час большей,   чем на подъёме, затрачивает на путь   от А до В 2 часа 40 мин., а на обратный путь от В до А — на 20 мин. меньше.  Найти скорости   велосипедиста   на   подъёме  и   на спуске  и длину подъёма в направлении от А к В, если длина всей дороги равна 36 км.

1728.    Для   состязания   велосипедистов   установлена дистанция в 6 км. Велосипедист А обогнал велосипедиста B,придя к финишу на 2 мин. раньше В. Если бы А уменьшил скорость на 0,1 км в мин., а В на столько же увеличил свою скорость, то В пришёл бы к финишу на 2 мин. раньше А. Найти скорость в час каждого велосипедиста.

1729. С первого участка земли собрали 4,8 т картофеля; со второго участка, площадь которого на 0,03 га меньше первого,   собрали   2 т  картофеля,   причём   с 1м² этого участка собрали на 2 кг меньше, чем с 1 м² первого участка. Найти площадь каждого   участка и сколько картофеля собрали с 1м² того и другого участка.

1730.  Деревянная балка весит 90 кГ, а железная балка, длина которой на 2 м больше деревянной, весит. 160 кГ, причём   вес   одного   погонного   метра   железной,   балки на 5 кГ больше веса погонного метра деревянной балки. Найти вес одного погонного метра и длину каждой балки.

1731. Равнодействующая двух сил, направленных под прямым углом, равна 89 кГ. Если каждую из этих сил уменьшить на 3 кГ, то равнодействующая уменьшится на 4 кГ. Найти величину составляющих сил.

1732. Равнодействующая двух сил, направленных под прямым углом, равна 25 кГ. Если меньшую силу увеличить на 8 кГ, а большую уменьшить на 4 кГ, то равнодействующая останется без изменения. Найти величину составляющих сил.

1733.   Из   двух   жидкостей,   удельные   веса   которых соответственно равны 1,2 Г/см³  и  1,6 Г/см³, составлена смесь весом  60 Г. Сколько граммов. взято каждой  жидкости и каков удельный вес смеси,   если  8 см³ её весят столько же, сколько весит всё количество менее тяжёлой из смешанных жидкостей?

1734. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то получится в частном 6 и в остатке 2. Если же это число  разделить на произведение его цифр, то получится в частном 5 и в остатке 2. Найти это число.

1735. Тело движется равномерно-ускоренно (без начальной скорости) и, пройдя путь 360 м, приобретает скорость равную  12 м в сек. Сколько времени и с каким ускорением двигалось тело?

1736.   Электропоезд   вышел   со   станции   и,   двигаясь равноускоренно, на расстоянии в 2,1 км развил скорость в 54 км в час.   Найти ускорение электропоезда и время разгона.

1737.  Тело,   имеющее   начальную  скорость,   получает ускорение в 25 см/сек² . В конце своего пути длиной в 570 м тело имело скорость 17 м в сек. Найти начальную скорость тела и узнать, сколько времени оно двигалось ускоренно.

1738*. По круговой дорожке длиной 2 км движутся по одному направлению два конькобежца, которые сходятся через каждые 20 мин. Найти часовую скорость каждого конькобежца, если первый из них пробегает окружность на 1 мин. скорее второго.

1739. Смешав 8 Г жидкости с 6 Г жидкости меньшей плотности, получили смесь с удельном весом 0,7 Г/см³, Найти удельный вес каждой жидкости, если удельный вес одной из них на 0,2 Г/см³, больше удельного веса другой.

1740. Из  двух   кусков  металла один  весит 178 Г, а другой 219 Г, причём удельный вес первого на 1,6 Г/см³ больше удельного веса второго. Найти объём каждого куска, если объём первого куска на 10 см³  меньше объёма второго куска.

1741. К раствору, содержащему 40 г соли, добавили 200 г воды, после чего его концентрация уменьшилась на 10%. Сколько воды содержал раствор и какова была его концентрация?

1742. Звук  от падения  камня на дно шахты долетел до наблюдателя через 4 сек. после начала  падения. Определить глубину шахты, принимая скорость звука равной 330 м в сек., а путь, s свободно падающего тела равным s = gt²/2 , где g ≈ 9,8 м/сек²

1743.  Через сколько секунд тело, брошенное вертикально вверх  со скоростью  60 м  в cek. ,  достигнет высоты 100 м? (Ускорение  свободного падения считать прнближённо равным 10 м/сек²)

1744.  Поезд шёл  со скоростью 36 км в час,  затем на перегоне,   равном   1,5 км,   поезд  шёл  равноускоренно с ускорением 0,1 м/сек². Найти  время,  в  течение   которого поезд прошёл  перегон.'

1745.  Одна из двух сил,   приложенных   под  прямым углом, на 4 кГ больше другой,   а равнодействующая их на 8 кГ меньше,   чем сумма  этих сил.   Найти  величину составляющих сил.

1746.  Каждой из двух масс воды, отличающихся друг от друга на 2 кг, сообщили одинаковое количество тепла, равное 96 ккал, причём оказалось, что большая масса воды нагрелась на 4° меньше, чем меньшая..   Определить каждую из двух масс воды.

1747.  Одинаковое  количество тепла, равное  60 ккал, сообщено каждой из двух масс воды, отличающихся друг от друга на   3 кг, причём  оказалось, что большая масса воды   нагрелась   на 1° меньше,   чем меньшая.   Найти, на сколько  градусов   нагрелась   при   этом   меньшая   масса воды.

1748.  Из двух кусков металла первый весит 880 Г, а   второй 858 Г,   причём  объём   первого   куска   на   10 см³ меньше объёма второго. Найти удельный вес каждого металла, если удельный вес первого  на 1 Г/см³ больше удельного веса второго.

Упражнения и задачи для повторения

Решить   следующие   неполные  квадратные  уравнения двумя способами: разложением на множители левой части уравнения, у которого правая часть равна нулю, и путём извлечения квадратного корня.

1751. Решить неполное квадратное уравнение:

1752. Решить квадратное уравнение путём   выделения полного квадрата двучлена:

 х² + 6х + 5 = 0.

Решить квадратные уравнения:

Решить задачи:

1755.  Через несколько точек, расположенных на плоскости так, что никакие три из них  не лежат ка одной прямой,  проведены все прямые,  соединяющие эти точки попарно.   Определить,   сколько  было  точек,   если число проведённых прямых оказалось равным 45.

1756.   В выпуклом многоугольнике  проведены всевозможные диагонали; оказалось, что их всего 14.   Сколько сторон у этого многоугольника?

1757.  Какой   многоугольник   имеет  число диагоналей на 12 больше числа его сторон?

1758.  В середине прямоугольной   площадки  со сторонами   12 м   и   10 м   требуется   разбить   прямоугольную клумбу   площадью  в 8 м² так,   чтобы  её края  были на одинаковом расстоянии   от   краёв  площадки.   На   каком расстоянии от краёв площадки должны быть расположены края клумбы?

1759.  В крышке ящика, имеющей форму прямоугольника длиной 30 см и шириной 20 см, требуется вырезать прямоугольное отверстие площадью в 200 см² так, чтобы края его были везде На одинаковом расстоянии от,краёв крышки. На каком расстоянии от края крышки должен быть расположен край отверстия?

1760.   Клумба,   имеющая  форму   прямоугольника   со сторонами 2 м и 4 м, окружена дорожкой, имеющей везде одинаковую ширину.   Определить ширину этой дорожки, если её площадь в 9 раз больше площади клумбы.

1761.  Из листа  жести,   имеющего форму прямоугольника, приготовлена открытая сверху коробка таким образом, что по углам её вырезано  по квадрату со стороной в 5 см и получившиеся   края   загнуты.   Какого  размера был лист жести,   если длина  его  вдвое  больше  ширины и если объём коробки оказался равным 1500 см³?

1762.  Для посева нового сорта  кукурузы колхоз выделил  два опытных участка  земли.   На первом участке, площадь которого была на 2 га меньше площади второго участка,   кукуруза   была    посеяна    квадратно-гнездовым способом. При уборке урожая с каждого из этих участков было собрано  по 180 т   кукурузы.   Сколько тонн кукурузы было собрано с одного гектара на каждом участке, если урожай кукурузы  на первом   участке  был   на 3 т с гектара больше, чем на втором?

1763.  Для уборки урожая в определённый планом срок колхоз выделил две бригады. Первая бригада, работавшая на участке в 400 га,  окончила уборку  урожая на 2 дня раньше срока, а вторая бригада на участке в 900 га проработала на 2 дня дольше срока. Если бы первая бригада работала столько  дней,   сколько  вторая,   а вторая—  столько   дней,     сколько   первая,    то    каждая    бригада убрала   бы   поровну.   Найти   срок   уборки   урожая   по плану   и    производительность    труда    каждой   бригады в день.

1764.  С аэродрома  одновременно  вылетают  два учебных самолёта: один — по направлению на юг со скоростью 192 км в час, а другой — по направлению  на восток   со скоростью 256 км   в час.   На каком  расстоянии  друг от друга будут находиться самолёты через 3 часа?

1765.   Из   порта  одновременно  вышли два  парохода: один — на север, а другой — на восток. Через 2 часа расстояние между ними оказалось равным 60 км. Найти скорость каждого парохода,   зная,   что  скорость   одного  из них на 6 км в час больше скорости другого.

ОТВЕТЫ