ГЛАВА  XIV

ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ.

§ 66. Решение задач с геометрическим и физическим содержанием. Графическое  решение уравнений.

1865.  Смежные стороны прямоугольника приближённо равны 12,0 м и 7,2 м. Найти сторону равновеликого ему квадрата.

1866.  Расстояние, на котором видно море с возвышения на берегу, определяется по формуле d ≈ 0,41 √h , где d — расстояние в километрах, h — высота места в метрах.

Найти   предельную   видимость,    если:    1) h ≈20 м; 2) h ≈140 м.

1867.  Объём куба v ≈ 4780 см3 . Определить его ребро.

1868.  Нужно сделать из жести бак кубической формы, который бы вмещал   приблизительно  500 л воды.   Найти с точностью до 0,1 ребро куба.

1869.  Площадь круга вычисляется по формуле S = πd 2/4, где S —площадь круга, π — постоянная величина, равная приближённо 3,14, d— длина диаметра круга.

1)   Составить  при  помощи   счётной   линейки  таблицу значений S, давая d значения, равные в сантиметрах: 0; 0,5; 0,8; 1; 1,5; 1,8; 2; 2,5; 3; 3,5.

2)  Построить график функции S.

3)  Найти по графику площадь круга, диаметр которого равен 1,2 см; 2,3 см.

1870. Стальная болванка  имеет цилиндрическую форму, причём диаметр основания равен высоте болванки. Объём такой болванки можно подсчитать  по   формуле  V=πd 3/4,

где V — объём болванки, d — диаметр, основания.

1)    Найти  вес  болванки,   если   d = 1,4м,  π ≈3,14.

Удельный вес стали .равен 7,9 Г/см3

2)  Какова высота болванки, если объём её приближённо равен: 1,04 м3?

1871. Вычислить при помощи счётной линейки радиус шара, объём которого равен 254 см3, по формуле V=4/3 πR 3, где V — объём шара, R—радиус шара, π ≈3,14.

1872.   Построите график функции:

у = х2 — 2х — 3.

1)  Определить, при каких значениях х функция у обращается в нуль.

2)  При каком значении х функция   имеет  наименьшее   значение?

3)  При каких значениях х функция  принимает  отрицательные  значения,   положительные  значения;  функция убывает,  возрастает?

1873.  Дано уравнение параболы: у =3х2 Написать уравнение каждой из  парабол, полученных путём следующих перемещений данной параболы:

1)  вершина параболы у =3х2 перемещена по оси ординат на 4 единицы вниз;

2)  вершина параболы перенесена на 5 единиц вправо;

3)  вершина параболы у =3х2 перенесена на 4 единицы влево и на 2 единицы вниз.

Решить графически уравнения:

1874.   1) х2 = 2х;         2) х2х — 6 = 0;     3) х2 = 2х + 3.

1875.   1) х2 + 2х — 8 = 0     2) 2х2  + 1 = 2 — х      3) 5 — х = х2  — 7.

1876.   1) х3х = 1;      2) х3 = (x — 2)2 

3) х3 — 3х — 2 = 0;         4) х3 = х2 + 4.

1877. Решить графически системы уравнений:

1878.   От участка  земли,   имеющего форму  треугольника ABC (черт. 73), площадью в т  гектаров  требуется  отделить меткой BD треугольный участок ABD площадью в п гектаров. Найти расстояние AD, если длина AC = d. Составить и решить задачу, давая буквам т, п и d числовые значения.

1879. Давление ветра для плоских стен приближённо вычисляется по формуле                 р = 0,1 v2, где р — давление ветра в кГ/м2, v — скорость ветра в метрах в секунду.

1)   Построить   график   изменения   давления   на   стену в зависимости от изменения скорости ветра.

2)  Найти по графику давление ветра на стену при v, равном 2; 3; 5; 8; 12,

3)  Определить по графику, при какой скорости ветра давление на стену будет равно 4 кГ/м2, 6 кГ/м2, 10 кГ/м2.

1880. Поле имеет форму прямоугольника ABCD (черт. 74), ширина которого равна а метрам; от этого поля требуется отделить участок земли площадью в т гектаров так, чтобы межа проходила через точку Е, лежащую на стороне AD на расстоянии d метров от точки А.

Найти положение F второй точки искомой межи, рассмотрев случаи:

Составить и решить соответствующие задачи, давая буквам a, d и т числовые значения.

1881. Земельный участок ABCD (черт. 75) имеет форму прямоугольной трапеции,   у  которой  основание  АВ = а, основание CD = b,  высота, трапеции AD = h. Этот участок требуется разделить на две равновеликие части так, чтобы  межа   MN проходила параллельно высоте трапеции,

1)  Найти расстояние AN.

2)  Составить задачу, давая буквам  a,   b,  h  числовые значения.

1882. Конец длинного железного стержня нагрет до температуры 1000°. Тогда температура в любой точке стержня   определяется   по формуле , где  х — расстояние рассматриваемой точки стержня в дециметрах от нагретого конца стержня.

1)   Построить   график   температуры   в   каждой   точке стержня.

2)  Определить по графику: какая температура стержня будет на расстоянии 2,5 дм от его нагретого конца?

3)  На каком расстоянии от нагретого конца  температура будет равна 30°?

4)  Считая,  что  голыми  руками  можно держаться   за стержень при его температуре в  40°,   найти  по графику расстояние этого места стержня от его  нагретого  конца.

1883.   Станкостроительный   завод   должен   по   плану выпустить   за   год   1500   станков.    При   проверке    выполнения   плана   за   первое   полугодие   были   получены следующие данные по выпуску станков:

1)  Определить  выполнение плана за  каждый месяц в процентах по отношению к годовому плану.

2)  Построить график выполнения плана по месяцам в процентах к годовому плану.

3) Найти в процентах отклонение от плана  выпуска станков за каждый месяц.

4).Определить в процентах выполнение плана за 1-е полугодие.

1884. Для приближённого подсчёта объёма сена в скирде пользуются следующей формулой: V = (0,52l — 0,45а) ab, где V—объём сена в кубических метрах, l  — длина «перекидки», т. е. длина линии BCD в метрах, а —ширина скирды (ВD) в метрах, b —длина скирды (АВ) в метрах.

Пользуясь этой формулой, подсчитать вес сена в скирде, если а = 4м; b = 8м;  l =10 м; вес 1 м3 равен 70 кг.

1885. Найти при помощи счётной линейки объём сарая (черт. 76) с двускатной крышей, если длина сарая 12,5 м, ширина 7,6 м, высота стен 3,5 м и высота конька крыши (от поверхности земли) 7,3 м.

1886. При расчёте болтовых   соединений диаметры железных болтов выбирают в зависимости от нагрузки, на которую эти болты рассчитаны,   причём диаметры болтов определяются по формуле d = 0,045√Q  + 0,5, где d — диаметр болта в сантиметрах, Q — предельная нагрузка в килограммах.

1) Построить график зависимости d от Q.

2)  Найти по  графику диаметр болтов  при  нагрузке в 60 кг; 180 кг.

3)  Какую предельную нагрузку можно допустить при болтовом соединении, если взять болт диаметром 1,5 см; 2 см?

1887.  На чертеже 77 указаны в сантиметрах  размеры верхушки  каменного столба   в   горизонтальной   и   фронтальной проекциях. Найти  вес этой верхушки, зная, что 1 м3 материала весит 2,4 т.

1888.  Пролёт треугольной  Стропильной фермы (черт. 78) AB = d,   а  уклон CD/DB = 1/3 Определить    длину    раскоса DN, если известно, что DN = NB.

Составить задачу и решить её, давая d числовое значение.

1889.     Тело    брошено    вертикально вверх с высоты 25 м с  начальной  скоростью 4 м в секунду. Зная, что движение данного тела определяется  уравнением     

 h = 25 + 4t1/2 gt2,     где     t — время движения в секундах, g ≈ 9,8 м/сек2 — ускорение силы тяжести, h — высота тела в метрах.

1)  построить график изменения  высоты тела  в зависимости от изменения времени движения;

2)  найти по графику,   в  какой   момент  времени  тело достигнет наибольшей высоты и какой именно;

3) через сколько секунд от начала движения тело упадёт на землю?

1890. Из куска жести, имеющего форму прямоугольного треугольника (черт. 79) с катетами ВС = а и AC= h, требуется вырезать квадрат, одна из вершин которого совпадает с точкой С, а другая лежит на гипотенузе АВ. Найти  сторону искомого квадрата.

Составить задачу,  давая числовые значения  катетам треугольника.

1891. Лабораторным путём определена следующая таблица изменения растворимости т соли хлористого калия (КС1)  в зависимости от изменения температуры t

1)  Построить в прямоугольной системе координат точки, соответствующие данным таблицы.

2)   Начертить  прямую,   которая  проходила  бы через   возможно большее число найденных точек.

3) Написать уравнение полученной прямой, выражающее приближённо изменение растворимости хлористого  калия в зависимости от изменения температуры от 0° до  100°.

4)  Проверить вычислением, что полученное уравнение растворимости соли хлористого  калия  даёт возможность приближённо   определить  растворимость  этой   соли   при температуре от 0° до 100° со средним отклонением в ±0,3 г от значений, данных в таблице.

1892. С высоты 100 м горизонтально брошен камень с начальной скоростью 10 м в сек. Траектория движения камня выражается в зависимости от времени движения t в секундах следующим образом:

где х  и у — координаты точек траектории движения.

1) Заполнить таблицу изменения  х  и у в зависимости от изменения времени движения:

2)  По найденным координатам точек построить траекторию движения камня.

3)  Определить по найденной траектории движения время падения  камня  на  землю;  на  каком  расстоянии  от ,  начальной точки движения камень упадёт на  землю;  на какой высоте будет камень через 2,5 сек, движения , через сколько секунд после начала движения камень будет на высоте 79 м.

4)  Построить график изменения высоты движения камня в зависимости от изменения времени.движения и сопоставить этот график с траекторией движения.

1893. В химической лаборатории опытным путём определена следующая таблица изменения растворимости т медного купороса (CuSO4) в зависимости от изменения температуры t от 0° до 100°:

1) Построить в прямоугольной системе координат точки, соответствующие данным таблицы.

2)  Начертить плавную кривую, которая проходила бы через возможно большее число найденных, точек.

3)  Принимая приближённо полученную кривую за параболу,  написать уравнение этой параболы вида т at2+ bt + с, вычисляя коэффициенты а, b и с по координатам трёх  точек,  через  которые прошла  полученная кривая.

4)  Проверить вычислением, что полученное  уравнение даёт   возможность   вычислить   растворимость   т   медного купороса при температуре от 0° до  100° со средним отклонением в ±0,7 г от значений, данных в таблице.

ОТВЕТЫ

 

Используются технологии uCoz