ГЛАВА II.

ОБ   УГЛАХ.

39. Линии параллельные и пересекающиеся. На чер. 47-м изображены линии АВ и СD; сколько бы мы ни продолжали их влево или вправо, они никогда не встретятся одна сдругой; точно также не встретятся линии FЕ и МН (чер. 48), если мы будем продолжать их вверх или вниз; такия линии наз. параллельными мы говорим, что линия АВ параллельна линии СD и что ЕF параллельна МН.

Таким образом параллельными линиями наз. такие, которые лежат на одной плоскости, и сколько бы их ни продолжали, никогда одна с  другой не встречаются.

Линия АВ и СD (чер. 49) встретятся в точке Е, если их продолжить влево; ливии FL и НК (чер. 50) встретятся в точке М, если их продолжить вправо.

40.  Вопросы. 1) В каких взаимных положениях могут находиться две прямыя линии на плоскости? 2) Какие прямые линии наз. параллельными? 3) Укажите в комнате параллельные линии? 4) Может   ли линия,   проведенная по потолку  комнаты,   встретиться с линией, проведенной по полу? 5) Всякая ли линия, проведенная по потолку комнаты, параллельна линии, проведенной по полу? 6) Всякие ли две линии,   которые   не встречаются,   будут параллельны между собою? 7) Линия,  отделяющая потолок от правой стены комнаты, будет ли параллельна линии,   разделяющей пол и левую   стену комнаты, и если   будет, то в какой плоскости находятся обе эти линии?

41.  Углы. Две прямыя линии АВ и СВ (чер. 51), которые встречаются или сходятся   в   точке   В,   образуют   угол; угол показывает наклонение двух прямых   линий   друг к другу. Точка В, в которой сходятся линии, наз. вершиной угла; а сами линии наз. сторонами угла.

42. Угол (чер. 52) означается тремя буквами, из кототорых одна ставится на вершине, а две другие на сторонах угла; буква стоящая при вершине, пишется и произносится между двумя другими буквами; так, угол, изображенный на чер. 52-м, нужно писать и произносить АВС или СВА, а не АСВ или ВСА.

Иногда угол означается и одной буквой, поставленной при вершине напр. уг. А (чер. 53), или буквой а, поставленной внутри угла (чер. 53).

Вместо слова <угол> употребляют зиак   /  .

43. Если мы продолжим линии ВА и  ВС (чер.   54),   то они будут наклонены одна к другой все так же, как и прежде; стало быть величина угла не зависит от длины его сторон.

Но если мы линию ВА (чер. 55) повернем влево, так чтобы она приняла положение ВD, то угол изменится— сделается больше; угол СВD больше угла СВA.

Напротив—повернув вправо линию АВ (чер. 56), мы уменьшим угол;  /  СВЕ меньше   /  СВА.

44. Сравнение величины углов.  

Если  имеем  два  угла (чер. 57) АВС и DЕF, то чтоб   узнать, равны ли они, или один больше другого, возьмем один из углов, напр. DЕF (для этого его надо вырезать) и наложим   его на АВС так, чтобы точка Е совпадала с В и линия ЕD пошла по ВА; если при этом линия ЕF также пойдет по ВС,  то стало быть угол DЕF = АВС .

Если же линия ЕF упадет внутри угла АВС (чер. 58), или вне его (чер. 59), то углы не равны: в первом случае уг. DЕF меньше АВС; во втором—больше его.

45. Черчение углов. Для черчения углов можно употреблять прибор, наз. малкою.

Он состоит (чер. 60) из двух линеек, соединенных шарньером О на подобие ножек циркуля, так что их можно сдвигать и раздвигать, таким образом эти линейки будут образовывать между собой различные углы.

Чтобы начертить уг., равный углу а (чер. 61), накладываем на уг. а малку   так,   чтобы   вершина угла совпада с точкой пересечения внутренних сторон линеек малки, а стороны угла шли бы по направлению   сторон   линеек;   

потом  снимаем  малку с угла, и, не изменяя наиравление линеек, кладем ее на бумагу или на доску (чер. 62) и проводим по внутренним сторонам линеек прямые АВ и АС; тогда и получим уг. ВАС= уг. а.

Если нужно при точке А (чер. 63) прямой ВС построить угол = уг. а (чер. 61), то, взяв уг. а малкой, кладем ее на линию ВС так, чтобы вершина угла совпала с А и одно из внутренних ребер малки было направлено по ВС; тогда начертим и другую сторону угла.

46. Сложение и вычитание углов. Если требуется построить угол, равный сумме нескольких углов, напр.   АВС, DEF, HKZ (чер. 64),

то берем один из этих углов, напр. АВС (чер. 65) и при точке В линии ВС строим уг. СВМ = DEF; затем при точке В линии ВМ строим   уг. МВN = HKZ;    тогда    и    получим    угл.    NВА=АВС + DEF + HKZ.

Если нужно из утла.АВС (чер. 66) вычесть уг. DEF, то строим при точке В линии ВА уг. МВА=DEF; тогда СВМ=СВА—DEF, т.е. уг. АВС больше угла DEF уг-лом СВМ.

47. Вопросы. 1) Что наз. углом? 2) Отчего зависит величина угла? 3) Изменится ли угол, если продолжить его стороны? 4) Как узнать, равны ли углы, или нет? 5) Как начертить уг., равный данному? 6) Как сложить несколько угл.? 7) Как найти, чем один уг. больше или меньше другого?

8) Найти сумму уг. т и п (чер. 67)? т + п + р?  разность уг. ВАD и САD? САF — п ?    ВАЕ — (т + п)?

48. Задачи. 1) Угол т (чер. 67)  увеличить в 5 раз?

2)  при точке А прямой   ВC  построить уг.= разности данных угл. т и n?

3)  Из вершины уг. АВС провести прямыe ВМ и ВN так, чтобы уг. AМВ был больше, а уг. АВN меньше уг. АВC ?

4)  Дана прямая и две точки А и В вне её; найти на этой прямой такую точку, которая находилась бы на одной прямой с точками А и В? Всегда ли эта задача возможна?

5)  Из точки А провести прямые АВ, АС, АD так, чтобы уг. ВАD = уг. ВАС—уг.DAC ? так , чтобы  уг. CAD = уг. ВАС+ уг. ВАD ? чтобы уг. ВАD = уг. ВАС+уг. DАС ?

6)  Даны точки А, В, C, D; найти такую точку M, чтобы она находилась на одной прямой как с точками А и С, так и с точками D и В? Всегда ли эта задача возможна?

7)  Из вершины уг. АОВ провести прямые линии ОС, ОD и ОF так, чтобы уг. АОВ = АОD+DОС+СОВ   и   чтоб   уг. ВОF равнялся разности углов АОF и АОВ, и найти сумму уг. АОС, СОВ и ВОF? разность между уг. АОF и суммою   углов ВОF и АОD? АОD+DОВ—СОВ—СОF? FОD — (ВОD — ВОА) ?

8)  Внутри угла АОВ из вершины его проведены прямыe линии ОС, ОD, ОЕ, ОF так, что уг. AOB=сумме   уг.   АОС, СОD, DОЕ, ЕОF, FОВ:   уг. СOD = 2АOС, DОЕ = АОD,   ЕОF вчетверо больше АОС, FОВ=5АОС. Определить АОС • 7?   Во сколько раз АОВ больше DОЕ? Какую часть от AOB составляет АОС? Какую часть от DОВ составляет СОD?

49.  Углы смежные. Проведем прямую АВ (чер. 68) и из какой-нибудь её точки С  проведем   другую   прямую CD; тогда получим два угла АСD и BCD.

Эти   углы   имеют одну сторону общую (именно   сторона CD) принадлежит и углу ACD и углу DСB); другие же их стороны АС и ВСсоставляют одну прямую линию. Углы АСD и ВСD наз. углами смежными. Итак, смежными уилами наз. такие, у которых одна сторона общая, а две другие составляют одну прямую линию (или  служат   друг другу продолжением).

50.  Углы прямые, тупые и острые. Смежные углы АСD и BCD (черг. 68) не равны между собою, и линия CD,   как видно по чертежу, не одинаково наклонена с левой и с правой стороны к линии АВ, так что угол АСD больше угла BCD.

Но если бы будем повертывать линию CD, влево около точки С, то угол с правой стороны будет увеличиваться, а с левой уменьшаться; наконец линия CD примет такое положение (чер. 69),  что она будет одинаково накдонена с обеих сторон к линии АВ, и оба смежные угла АСD и BCD сделаются равными между собою; в таком случае эти углы наз. прямыми. Итак, если смежные углы равны между собой, то каждый из них наз. прямым.

Прямые уилы, сколько бы их ни начертили, все равны между собою; так уг. А (чер. 70,) = уг. В = ут. С.

Таким образом, прямой угол имеет всегда одну и ту же величину, иначе говоря — прямой угол есть величина постоянная. Его обыкновенно означают буквою d.

51.   Угол AСВ (чер. 71), который   больше   прямого,   наз. тупым; а угол DEF, меньший прямого, наз. острым.

Тупые и острые  углы   могут   иметь   весьма   различную величину; так на чер. 72-мь изображены три тупых угла, из которых самый больший В, самый меныпий А;

на чер. 73-м представлены три раздичных острых угла.

52.   Линии   перпендикулярные.   Линии,   образующие   между собой прямой угол, наз.   перпендикулярными  друг к другу;

так, если АВС (чер. 74) есть прямой уг., то линии АВ и СВ взаимно перпендикулярны, т.е АВ перпендикулярна к СВ и СВ перпендикулярна к АВ. Перпендикулярность изображается знаком _|_ ;  напр. чтобы выразить, что прямая АВ перпендикулярна к прямой ВС, пишут: АВ _|_ ВС.

53.  Если возьмем прямую линию  АD   (чер.   75)   и  из  какой-нибудь её точки В проведем к ней перпендикулярную ВС, то говорят, что из В восставлен перпендикуляр к  АD.

Если же из   точки   С,   находящейся   вне   линии   АD (чер. 75 и 76),  проведена прямая    СВ _|_ АD,   то   говорят, что из  С опущен перпенд. на АD.

54.  Если из точки В линии АС (чер. 77) восстановлен к АС перпендикудяр ВD, то всякая другая линия,   проведенная   из   В,   напр. ВЕ, ВF,   ВМ,   будет   наклонена к одной стороне линии АС больше, чем к другой; стало быть все эти линии не будут перпендикулярны к АС. Итак из точки, взятой на прямой линии, можно восставить к этой линии толко один перпендикуляр.

55.  Точно так же, если (чер. 78) СD_|_АВ и из точки С мы проведем какие - нибудь прямыя СЕ, СF...., то каждая-из этих   линий   не   будет   одинаково наклонена с левой и с правой стороны к линии АВ; поэтому из точки, взятой вне линии, можно опустить на эту линию только один перпендикуляр.

Линии СЕ, СF...   (чер.   78),  не   перпендикулярные к АВ, наз. наклонными или косвенными.

56.    Черчение    прямых   углов.    Для    черчения   прямых углов,   иначе    говоря,   для   проведения   перпендикуляров, употребляется прибор, наз. науголником. Это есть дощечка (чер. 79), которой ребра АВ и АС образуют прямой угол. Чтобы начертить прямой угод, нужно приложить наугольник к бумаге или к доске и очертить его ребра АВ и АС, начиная от точки А.

Если надо восставить перпендикуляр из точки D к прямой АВ (чер. 80), то берут линейку и кладут ее так, чтобы её ребро сливалось с АВ; затем прикладывают наугольник т так, чтобы ребро прямого угла прилегало к ребру линейки, и подвигают наугольник (на нашем чертеже вправо) до тех пор, пока вершина прямого угла не совпадет с данной точкой D; потом по другому ребру прямого угла проводят прямую DС, которая и будет _|_ к AВ в точке D.

Чтобы из данной точки С (чер. 81) опустить   перпендикуляр на прямую АВ, кладут линейку так, чтобы её ребро сливалось с АВ, затем прикдадывают наугольник так, чтобы ребро прямого угла прилегало к ребру линейки, и двигают наугольник по линейке (на намшем чертеже вправо) до тех пор, дока другое ребро прямого угла не пройдет через данную точку С; затем проводят по ребру прямую линию.

57. Проверка наугольника. Начерченный посредством наугольника прямой угол и проведенный перпендикуляр будут верны в том случае, если верен угол наугольника. Чтобы поверить наугольник, кладут его на линейку (чер. 82) в положении А и проводят по ребру его линию СВ; затем перевертывают его так, чтобы он принял положение В, и снова проводят линию по   ребру   лннейки;

если эта линия сольется с прежде начерченной, то наугольник верен; еели же получатся две линии CD и СЕ (чер. 83 и 84), то прибор не верен, потому что из точки на линии нельзя восставить больше одного перпендикуляра.

58. Проведение перпендикуляров по поверхности  земли.

Для проведения перпендикуляров по поверхноcти земди употребляют прибор, наз. эккером. Он состоит (чер. 85) из дощечки, которая вадевается на палку М, имеющую внизу острый железный наконечник; на дощечке прикреплены четыре шпильки А, В, С, d, если палку М поставить вертикально, то и шпильки будут иметь вертикальное положение. Шпильки поставлевы так, что если соединить концы их прямыми линиями, то эти линии образуют между собою прямой угол.

Чтобы провести две, перпендикулярныя между собою, линии по поверхности земли, втыкают в землю кол М так, чтобы он имел вертикальное направление; потом провешивают одну линию по направдению шпилек с и а (чер. 86), а другую — по направлению d и b.

Положим еще, что нужно из какой-нибудь точки линии, проведенной по поверхности земли, восставить к этой линии перпендикуляр. Для этого ставим эккер в данной точке, повертываем его так, чтобы две шпильки, напр. а и с  находились в направлении данной прямой линии; тогда, провешив линию по направлению двух других  шилек, по-лучим перпендикуляр к данной линии.

Пусть, наконец, требуется опустить перпендикуляр из данной точки С (чер. 87) на линию   АВ,   находящуюся   на поверхности земли; для этого ставим эккер в какой-нибудь точке линии АВ, притом так, чтобы две шпильки находились   по направлению АВ; потом подвигаем эккер по линии АВ (на нашем чертеже вправо) до тех пор, пока линия, проходящая через другия две шпильки, не встретит точку С; провешив эту линию, получим перпендикуляр к АВ.

59.   Поверка эккера.   Для поверки эккера, его ставят в какой-нибудь точке (чер. 88), потом вбивают колья в М и N, Е и F—по направдениям аb и сd, затем повертывают эккер так, чтобы против М и N приходились шпильки с и d; если при этом другие две шпильки придутся против Е и F, то это и будет служить признаком того, что эккер верен.

60.  Вопросы. 1) Какие углы наз. смежными? 2) Всякие   ли  два угла, имеющие общую вершину и сторону,   будут   смежными?   3) Начертите такие два несмежных уг., которые имели   бы   общую вершину и сторону? 4) Какие уг. наз. прямыми? тупыми? острыми? 5) Какие линии наз. перпендикулярными? 6) Укажите в комнате линии взаимно перпенд.? 7) Сколько можно восставить перпендик. из точки к линии? 8) Сколько можно опустить перпендик. из точки на линию? 9) Как восставить перпендик. из данной точки на линии посредством наугольника? 10) Как опустить перпенд. из точки на линию посредством наугольника? 11) Как поверить наугольник? 12) Для чего служит эккер и как он устроен? 13) Как посредством эккера восставить перпенд. из точки на линии? 14) Как опустить посредством эккера перпенд. из точки на линию? 15) Как поверить эккер? 16) Какой уг. равен своему смежному? 17) Сколько углов можно составить двумя  прямыми линиями.

61.  Задачи. 1) По масштабу, изображенному на чер. 44-м, начертить две взаимно перпендикулярные линии  так, чтобы   одна имела длину 2 сажени, а другая 3 саж.?

2)  Из какой-нибудь точки А произвольной прямой линии восставить к ней перпендикуляр, отложить на нем   по масштабу (чер. 44) часть АВ в 2²/₃ саж. , а по линии, считая от точки А, отложить часть АС в 1  саж. 1 арш.; потом восставить из С перпендикуляр к СВ, отложить на нем линию CD =4 саж. и из D воcставить к DВ перпендикуляр, равный 1 саж.?

3)  Три прямыt АВ, СD, ЕF пересекаются в точке M; сколько при этом образуется пар смежных углов и какие именно?

4) Начертить три таких острых угла, чтобы сумма их была = прямому? была больше прямого угла? составляла острый угол?

5)  Начертить острый и тупой угол так, чтобы разность их= прямому уг.? тупому? острому?

6)  Начертить два таких тупых угла, чтобы разность их равнялась прямому уг.? острому? тупому?

62.    Измерение   углов.   Измерить угол  значит  узнать, во сколько раз он больше или меньше другого угла, принимаемого за единицу.  За единицу принимают прямой угол, потому что все прямые углы имеют одну и ту же величину, тогда как острые и тупые уг. могут быть весьма различны. Таким   образом, если напр. сказать, что   уг. А(чер.89)= ²/₃ прямого, то это значит, что   если  раздедить  прямой уг. на три равные части, то каждая из таких частей уложится в уг. А ровно два раза.

Точно так   же, если   (чер. 90) уг. В =1¹/₄ d, то это значит, что в уг. В уложится целый прямой уг. и останется   еще остаток, в котором ровно один раз уложится четвертая часть прямого угла.

63.   Можно измерять  углы еще и другим образом. Опишем каким-нибудь радиусом круг (чер. 91) и проведем в нем два перпендикулярные между собой диаметра АВ и СD.

Если вырежем этот круг и согнем его по диаметру AВ, то увидим, что верхняя часть круга совершенно совпадает с нижней; этого и нужно было ожидать, потому что все точки   окружности равно отстоят   от центра. Таким образом каждый диаметр делит окружность и круг пополам. Перегнутый круг (чер. 92) согнем еще раз по линии ОС; тогда увидим, что левая сторона совместится с правой (чер. 93), и стало быть всякая окружность (чер. 91) двумя перпендикулярными диаметрами делится на четыре равные части, и каждая четверть её соответствует прямому углу.

64. Если мы начертим угол АОВ (чер. 94), равный половине прямого, то ему будет соответствовать дуга АВ равная ¹/₂ четверти окружности; взявши уг. АОС, равный ¹/₃ прямого, увидим, что и дуга его АС будет составлять третью часть четверти окружности; углу ВОD, который = 1¹/₂ d, соответствует дуга ВD, в полтора раза большая четверти окружности, и т. под.; вообще—во сколко раз угол больше или меньше прямого, во столько же раз и дуга, ему соответствующая, больше или меньше четверти окружности.

65. Условились делить всякую окружность на 360 равных частей, наз. градусами. Так  как окружности бывают различной величины, то градус одной окружности не равен градусу другой (в окружности большего радиуса и градусы будут больше) *);

*) Каждый градус окружн. земного экватора=15 геогр. мил. или 105 вер.

но все градусы одной и той же окружности равны между собою, и каждый из них составляет ¹/₃₆₀ часть окружности. Каждый градус разделяется на 60 минут, минута—на 60 секунд. Слово градус обозначается —°, минута—', секунда—". Так, 25°30'24" означает дугу в 25 градусов 30 минут 24 секунды. На чер. 95-м представлена четверть окружности, разделенная на 90°.

Если конечныя точки каждого градуса соединим с центром, то прямой угол разделится на 90 равных частей, которые наз. также градусами.

66.  Возьмем какой-нибудь угол а (чер. 96)   и опишем из вершины его различными радиусами    несколько    дуг;   

все  эти дуги, по предыдущему, будут содержать одно и то же число   градусов, напр. 20;   и угол а содержит   также 20°. Таким   образом,   угол  содержит  в себе  столько  градусов, сколко  градусов  содержится в дуге, описанной из вершины его  каким-нибудь радиусом.

67.  Так   как   прямому   углу   соответствует   четверть окружности, то он =90°; уг. в 30° будет во столько раз меньше прямого, во сколько дуга его меньше четверти окруж-ности или 90°; но 30° составляет треть 90°; след. уг. 30°=¹/₃ прямого.   Подобным образом   найдем, что уг. 40°= ⁴/₉ d; уг. 45°= ¹/₂ d;   уг. 120° = 1¹/₃ d, и т. под.   Обратно—угол, равный  1¹/₂    прям.,   содержит    135°;    уг.   равный   ²/₃ d  = ²/₃ • 90° = 60°;
уг.= ⁵/₈ d =⁵/₈• 90° = 56° 15', и т. под.

68.  Транспортир.   Чтоб   узнать, сколько градусов в угле, начерченном на какой - нибудь плоскости, употребляют инструмент (чер. 97), наз. транспортиром.

Это есть медный (иногда роговый или деревянный) полукруг, разделенный на градусы; счет градусов идет, как видно по чертежу, с той и с другой стороны полукруга.

Чтоб измерить уг, а (чер. 98), мы приставляем транспортир так, чтобы его центр совпал с вершиной угла, а диаметр АВ совпал со стороной угла NK, и смотрим, в какой точке пересечет дугу транспортира другая сторона угла МN число градусов на транспортире, заключающееся между сторонами угла, и покажет его величину; как видно по чертежу, угод а=50°.

69. Посредством транспортира можно начертить угол, который бы содержал известное число градусов, а также построить угол, равный данному углу.

Если напр. нужно начертить уг. в 130°, то берем транспортир (чер. 99) и проводим   по диаметру   его прямую  АС;   потом   точку, где поставлено на транспортире 130°, соединяем с центром В; угол АВD будет равен 130°. Eсли хотим построить уг., равный данному углу а, то посредством транспортира находим, сколько градусов в a — положим, что а = 20°; тогда чертим уг. в 20°. Заметим, что так как транспортиры бывают обыкновенно небольшой величины, то на них означаются только градусы; минут же и секунд означить нельзя, так как эти деления очень мелки; поэтому измерение и построение углов по транспортиру не могут  быть точными; так, нельзя построить уг. в 30° 15' 40". Точно так же, если измеряемый уг. не содержит в себе ровно несколько градусов, напр. он больше 42 и меньше 43°, то мы не можем определить, сколькими именно минутами и секундами он превышает 42°.

70.   Астролябия.   Для иизмерения   углов   на   поверхности земли   употребляется   прибор,   наз.  астролябией.   

Он состоит   (чер. 100) из медного круга (круг этот наз.   лимбом),   поставленного на треножной подставке; ножки   подставки   можно   раздвинуть более   или   менее,   а   самый   круг может    быть    приведен   в   какое угодно    положение — горизонтальное, вертикальное  или  наклонное. Окружность   лимба  разделена  на  градусы; в центре круга   укреплены   две линейки  или  алидады;   одна  из   них АВ   неподвижно   соединена  с   кругом, и одно ребро   её представляет  диаметр   круга,   идущий   от   0°   до 180°; другая   линейка может повертываться   около   центра   круга,   причем   с   первой   линейкой   она   будет составлять различные   углы, величина которых означается   на круге.   На  линейках,   перпендикулярно к   ним,   укреплены  так   называемые   диоптры;   это две медные   планочки   (чер.   101);   

в   каждой   из   них   сделаны внизу и вверху   два прореза — один   узкий,   другой   более   широкий; в   этом   последнем  натянут   волос;  притом  в одной   планке   узкий прорез  находится   внизу,  а широкий   вверху,   в   другой   же — наоборот.

71. Чтоб измерить угол, образуемый линиями, проведенными из А и В (чер. 102) в С, ставят астролябию так, чтобы центр лимба приходился прямо над точкою С;

с этой целью внизу астролябии подвешивается отвес, так что точка, в которой прикреплена нитка отвеса, находится прямо под центром круга, иначе говоря—на  одной вертикальной линии с ним; если поставим астролябию так, чтоб гирька отвеса приходилась прямо над точкой C, то и центр лимба будет находиться на одной вертикальной линии с точкой С. Установив астролябию, приводят круг в горизонтальное   положение   посредством   уровня (§ 18); потом повертывают лимб так, чтобы неподвижная алидада находилась в направлении от С к А; этого можно достигнуть, смотря в узкое отверстие диоптра и приводя волосок широкого отверстия на точку А. Затем повертывают подвижную алидаду так, чтобы она была в направлении СВ; число градусов на круге между алидадами и означит величину угла АСВ.

72. Можно устроить астролябию бодее простым способом, взяв место медного круга деревянный, с двумя деревянными же линейками, прикрепленный к палке, которую можно вбивать в землю, и заменив диоптры шпильками (чер. 103).

73. Мы уже говорили (§ 69), каким образом посредством транспортира можно построить уг., равный данному углу; но эту задачу можно решить и без транспортира, посредством циркуля и линейки. Для этого из вершины данного уг. а (чер. 104) опишем каким-нибудь радиусом дугу MN ;

 потом   возьмем   произвольную   прямую   линию   АB (чер. 105) и из какой-нибуд точки С опишем тем же радиусом дугу ЕF; далее возьмем циркулем дугу MN и отложим ее на FЕ, начиная от точки F; пусть FН=МN; соединив точку М с С, получим уг. NCF = уг. а, потому что дуга HF  = МN, притом эти дуги описаны равными радиусами, и  след. уг. С и уг. а содержат одинаковое число градусов.

74- Свойство смежных углов. Возьмем два смежных угла т и п (чер. 106); опишем из вершины их дугу;

в угле т будет столько градусов, сколько в дуге АВ; в уг. п столько, сколько в дуге ВD; но дуги АВ и ВD соcтавляют вместе полуокружность, так как линия АD есть диаметр; след. сумма уг. т и п составляет 180° или 2d. Итак всякая пара смежных углов=2 прямым (или 180°). Поэтому, если мы знаем величину одного из смежных углов, то можем определить и другой угол, вычтя первый из 2d или из 180°; если напр. один угол = ²/₅ d, то другой = ⁸/₅ d; если один угол = 65°, то другой=115°, и т. под.

Свойство смежных углов можно доказать еще другим способом. Возьмем два смежных угла (чер. 107) АВС и СВD;

проведем из общей их вершины В прямую ВO_|_ВD; тогда уг. АВС будет больше прямого угла АВО на уг. т, а уг. СВD будет меныпе прямого угла ОВD на тот же угол т; след. если сложить уг. АВС с уг. СВD, то получим в сумме два прямых угла.

75. Если на прямой линии АВ (чер. 108) возьмем какую-нибудь точку О и проведем из неё по одну сторону АВ несколько прямых линий, то получим углы т, п, р, q ;

сумма этих углов равна двум прямым углам, потому что все они вместе составляют пару смежных углов, напр., АОС и СОВ. Итак, сумма углов, имеющих общую вершину и расположенных  по одну сторону прямой линии, равна двум прямым углам (или 180°).

76.  Возьмем  точку  А (чер. 109)   и проведем   из  неж несколько прямых линий; тогда получим углы т, п, р, q, r;

Если одну сторону какого-нибудь из-этих углов продолжим за вершину,т.е. за точку А, то получим прямую линию по одну сторону которой (§ 75) сумма угл. будет= 2 прям. угл., и по другую так. же равна 2 прям.; след. сумма углов т, п, р..., расположенных около одной точки, равна 4 прямым угл. (или 360°).

77.  Углы   вертикальные.  Возьмем   какой-нибудь   угол а (чер. 110) и продолжим  его стороны за вершину;

тогда получим угол b, а также углы т и п. Углы, у которых стороны одного служат продолжениями сторон другого, наз. вертитльными; так, угол а будет вертикальным для угла b; углы т и п суть так же вертикальные. Вертикальные углы равны между собою, т.е. уг. а = уг. b и уг. т = уг. п. Действительно, углы а и т суть смежяые; след. уг. а равен 180° без уг. т (ибо а + т=1800); но углы b и т так же смежные, след. и
уг. b =180° — т, т.е. уг. b имеет такую же величину, как и уг. а. Подобным образом можно доказать, что уг. т = уг. п.

78.  Вопросы. 1) Что значит измерить  угол? 2)  Какой угол принимается  за единицу  для измерения  углов?  3) На каком  основании углы можно измерять дугами, описанными из вершин этих углов? 4) Что наз. градусом, минутой, секундой? 5) Как устроен транспортир? 6) Начертить несколько  углов и измерить   их  транспортиром? 7) Как  посредством  транспортира построить   уг.,  равный   данному углу? 8)  Как  устроена астролябия? 9) Как   измерить  уг. на земле  с помощию  астролябии? 10) Как посредством циркуля и линейки построить уг., равный данному? 11)  Чему  равна сумма смежных уг.?12)  Чему равна сумма  угл.,   имеющих   общую   вершину и  расположенных по одну сторону прямой линии? 13) Чему равна сумма уг., имеющих общую вершину и расположенных около точки? 14) Какие углы наз. вертикальными? 15) Доказать, что вертикальные углы равны между собою?

79. Задачи. 1) Какую дугу описывает минутная стрелка в  ¹/₄ часа? в 5 мин.? в полчаса? в 40 мин.? в 25 мин.? в  ³/₈ часа?

2)  Какую дугу проходит часовая стрелка в час? в 3 ¹/₂ часа? в 5 час 10 мин.? в 15 мин.? в 25 мин.? в  ³/₄ часа?

3)  Какой угол составляют стрелки часов в 1, 2, 3, 4. 5 час?

4)  Найти сумму углов в 23° 40', 15° 30', 50° 50'?

5)  Найти разность угдов 17° 44' и 103° 20'?

6)  Какого вида угол в 46° 32'? в 84°? 105°? 90°? 120°?

7)  Один из смежных углов = 62°; чему равен другой?

8)  Из вершины угла описана дуга; она составляет ³/₂₀ окружности. Сколько градусов в угле?

9)  Между сторонами угла описана дуга, центр которой не в вершине угла; дуга=60°; столько ли же градусов в угле?

10)  Какой угол вдвое  больше 36° 30"?  впятеро   больше 18°? вчетверо меньше 135°? в 6 раз меньше 110° 52'?

11) Какую часть прямого угла составляет угол в 60°? в 45°? 22° 30'? 10°? 6°? 54°? 36°? 27°? 24°? 67° 30'? 25° 12'? 135°? 120°? 112° 30'? 162°? 171°?

12) Сколько градусов в ¹/₂, ²/₃, ³/₄, ⁴/₅, ⁵/₆, ³/₈ прямого угла? в 1¹/₂d? ⁵/₄d? 1³/₈d? 2d?

13)  Через вершину прямого угла проведена прямая линия; с одной из сторон   угла она образует уг. в 36°; какой  угол составляет она с другой стороной?

14) Определить один из смежныхуглов, если другой=38° 24'? ²/₃d? 1⁵/₉d? 0,5d? 0,75d?  1,36d ? 1,666...d? 0,58333...d? 0,(285714)d? 0,016(891)d ?

15)  Сколько градусов в угле, который равен своему смежному? вдвое меньше своего смежнoго? втрое, впятеро, в 8 раз, в 9 раз меньше? вчетверо, в 9 раз больше?

16) Определить  смежные  углы.   если  отношение  их = 4?  8? 2¹/₂? ⁵/₃? 1,5? 2,6? 1,666...? 0,(3)? 0,1333...? 0,2(7)?

17) Определить смежные углы, если один из них больше другого на 15°? на 32°? один меныпе другого на 18° 24'? на 25° 52' 18"?

18) Определить смежные углы, если один  больше другого на ¹/₄d? на ³/₅d? если разность их=³/₈d? 1,2d? 0,36d? 1,(36)d?

19) В точке В сходятся четыре прямыя линии: АВ, СВ, ВD, ЕВ; АВ _|_DВ и СВ _|_ЕВ; уг. АВС=10°; определить уг. DВЕ?

20) Углы АВС и АВD смежные: ABC=40°24'; через В проведена линия ВЕ, делящая уг. АВD пополам;  чему равен уг. ABE?

21)  По одну сторону прямой построены углы m, п, р, q, имеющие обдщую вершину;   т = 20°; р = 75°; q = 43° 40'; найти п?

22)  Линии АВ, СВ, DВ, ЕВ сходятся в точке В; линия АВЕ прямая; уг. АВС=30°, уг. ЕВD=²/₃ прямого; найти угол СВD ?

23) Углы m, п, р, q имеют общую вержину; углы т и п смежные; уг. р = 40° 40'; определить угол q

24)  Начертить уг.   в  20°, 50°, 90°. 15°, 65°, 135°, 72°,   100°?

25)   Начертить уг., равный   сумме   углов   m =25°,   n = 36°, p = 15°?

26)  Две линии пересекаются между собой; один  из  углов , составляемых  ими, равен  40°; определить остальные углы?

27)  Начертить угол , равныи разности углов прямого и 24°?

28)  Начертить уг., смежный с  углом , равным ⁵/₄ прям.?

29)  Даны  точки А и В; найти   такую  точку С,  чтобы  угол  ВАС=60°? Сколько решений имеет  эта задача?

30)  При  точке С прямой АВ  построить  уг.,   вчетверо   больший 15°?

31)  При точке А прямой АВ начертить угол , равный разности двух  данных  углов  т и n?

32)  Из  точки С прямой АВ проведены по одну сторону прямой две  прямые   СD и CЕ,   так   что   уг. АСВ = уг.  ЕСВ, и линия СМ, делящая уг. ЕСD пополам : определить величину уг. АСМ и ВСМ ?

33)  Из  вершины смежных  углов  проведены две линии; одна делит  пополам  один  из  смежных  угл. , другая—другой; какой уг. составляют  между собой эти линии?

34) Сколько градусов  содержит  наибольший острый угол ? наименьший тупой угол ?

35)  Сколько можно поместить около одной точки углов , из которых  каждый = 72°? 30°? 10°? 90°? 120°? 15°? 5°? 1°? 1'? 1"?  ¹/₈d ? ⁴/₉d ? ²/₃d ?1¹/₃d ? ⁴/₁₇ d ? 0,(285714)d?

36)  Часовая стрелка прошла 5°20'; на какой угол  повернулась в  это время минутная стрелка?

37)  Около  точки  расположены 20,  10, 15, 8 равных  углов ; определить величины их ?

38)  По одну сторону прямой линии расположены углы а, b , с; уг. b  вдвое, а с втрое больше а; определить эти углы?

39)  По   одну   сторону   прямой  расположены   углы  а, b, с, т;   а + b  = 60°; уг. т = ³/₅с; определить углы с и т?

40)  По одну сторону прямой расположены 5 углов ; второй из них   втрое больше первого; третий втрое больше второго, и т. д.; определить величины их ?

41)  По одну сторону прямой расположены 6 углов ; четвертый уг. втрое больше первого, а каждый из  прочих  = сумме первого и четвертого; определить величины этих  углов ?

42)   Около   точки   расположены   уг. а, b, с;   а + b = 260°; а —  b = 70°; определить величины углов ?

43)   Около   точки   расположены  уг.  а, b, с;   уг. а = ¹/₈b , уг. b = ¹/₈с; определить величины углов ?

44)  Из  вершины смежных  углов  АОС и СОВ проведены прямые линии ОD и  ОЕ, составляющиe с  общей   стороной ОС уг. ЕОС = ¹/₄АОС и уг. DOС=¹/₄СOВ: определить уг. между ОD и OE?

45)  Решить   предыд.   зад..  полагая, что   уг. ЕОС = ¹/₅АОС и уг. DOС=¹/₅СOВ

46) В  точке В сходятся 4 прямыя линии: AB, CВ, DВ, MВ; АВ с  DВ, а также СВ с  МВ составляют  углы прямые; уг. АВС= 60°; определить уг. DBM ?

47)  Углы АВС и АВD смежные; АВС = ³/₈ прямого;  через В проведена прямая ВЕ, делящая уг. АВD   пополам ;   чему = уг. DВЕ?

48)  Прямыя АВ, СВ, DВ, МВ сходятся в  гочке В;линия АВМ прямая; уг. АВС=30°; уг. MBD = 60°; определить уг. СВD ?

49)  Из  точки С прямой линии АВ проведены по одну сторону АВ три прямых  линии: СD, СЕ и СM; уг. АCD = ЕCВ = 72°; прямая СМ делит  уг. ЕСD пополам ; определить уг. DCM ?

50)  По одну сторону прямой АВ построены углы АОС= ²/₃d , СОD =¹/₂d , DОЕ=³/₄d  и еще 4 равных    между  собою  угла; опрeделить величину каждoго из  этих  последних  углов ?

51)   По   одну  сторону  прямой построено   6  равных  углов , имеющих  общую вершину; определить эти углы?

52)  Около точки O построено 5 углов , каждый в  ⁴/₁₅d , и затем  еще 16 равных  углов ; определить каждый из  этих  последних ?

53)  Четыре угла имеют  общую вершину; они отноcятся между собой как  2:5:6:7; определить величины их ?

54)  Из  вершины тупого угла АВС проведена прямая   линия, составляющая с  одной из  сторон  угла угол  прямой, а с  другой стороной угол  = ³/₇АВС; определить уг. АВС7

55)  Прямыя АВ и СD пересекаются в  точке O; определить образующиеся при этом  углы, если уг. АОС=³/₇d ? ⁵/₁₂d ? 1²/₃d  ?1,6d ?

56)  Уг. АОВ разделен  пополам    прямою OC, и через  вершину его проведена прямая DЕ, образующая с OC углы прямые; доказать, что острые углы АОD и ВОЕ равны между собою?

57)  Через   вершину смежных  углов  проведены  две прямые линии, образующие между собой уг. = 1¹/₄d ; одна из  этих  линий делит  пополам  меньший из  смежных  углов , а другая образует  прямой уг. с  общей  стороной смежных  углов ;   определить смежные углы?

ОТВЕТЫ

32. 90°   41. 9°  42. 165° 45. ²/₅d  46. 60°  47. ¹⁵/₁₆d  48. 90°   49. 18°

50. ¹/₈d 51. ¹/₃d  52. ¹/₆d  53. ²/₅d  54. 1³/₄d  

56. AOD = d — AOC; BOE = d — BOC;   57.  ¹/₂d