ГЛАВА V.

О ТРЕУГОЛЬНИКАХ.

109.   Равенство треугольников.  Двe фигуры  (чер. 166) наз. равными, если они, будучи наложены  одна   на другую, могут совершенно закрыть друг друга или совмeститься. Таким образом, если хотим знать, равны ли между собой тр-ки АВС и DEF  (чер. 167), то мы должны наложить один тр-к на другой, напр. DEF на АСВ, притом так, чтобы, напр., точка D упала в точку А, сторона DF пошла по АС; если мы увидим, что и точка F упадет в С, а точка Е упадет в В, то и всe стороны тр-ка АВС совпадут со сторонами DEF , а потому самые треугольники совмeстятся и слeд. будут равны.

110.    Посмотрим, в каких случаях два  тр-ка  равны между собою; иначе говоря—опредeлим, какие части в двух тр-ках   должны быть равными, чтобы и самые   тр-ки были равны между собою.

Очевидно, что если треугольники (чер. 168) совершенно не имeют равных частей, т.е. ни одна сторона одного треуг. не равна сторонe другого и в обоих треугольниках нeт равных углов, то такие тр-ки не равны между собою.

111. Возьмём тр-к АВС (чер. 169) и начертим другой, который имeл бы углы, равные углам тр-ка АВС.

Для этого возьмем линию GH (чер. 170) и при какихи -нибудь точках её Е и F построим углыг равные уг. А и С; тогда получим тр-к ЕFО, которого углы = уг. тр-ка АВС; дeйствительно, углы при Е и F мы построили равные угл. А и С; слeд. и третьи углы В и О  равны.

Если бы мы на линии взяли другие точки G и Н или построили бы равныё углы на другой прямой КL (чер. 171), то мы также получили бы тр-ки, которых углы равны углам тр-ка АВС.

Таким образом, можно построить множество тр-ков, которых углы будут = угл. тр-ка АВС. Всe эти тр-ки не могут быть равны между собою, а потому всe они не могут равняться и тр-ку АВС; а из них будут  равняться АВС только тe тр-ки, которые мы начертим, построив углы А и С на концах линии, равной сторонe АС тр-ка АВС, напр. на концах NР (чер. 172). Вырeзав тр-к NРQ и наложив его на АВС,  мы увидим, что оyи совмeстятся.

Итак, два треугольника равны, если они имeют по одной равной сторонe и по два равных угла.

Это можно доказать следующим образом.

Положим, что в тр-ках АВС и DЕF (чер. 173) сторона АС=DF, уг. А= уг. D и уг. С = уг. A.  Вообразим, что тр-к  DEF наложен на тр-к АВC так, что точка D упала в A и сторона DF пошла по   АС;  по   равенству этих   сторон  и точка F упадет в C. По равенcтву   углов D и A сторона DЕ пойдет по АB и след. верпшна  Е упадет где-нибудь на стороне АВ или на её продолжении. По равенству  углов F и С, сторона ЕF пойдет по СВ и вершина Е должна  упасть на стороне   СВ или на её продолжении.   Вершина Е таким образом должна находиться зараз на двух линиях АВ и СВ; след. она совпадет с точкою пересечения   этих линий, т.-е. с вершиною В (ибо две прямые линии могут пересекаться только в одной  точке). Итак, стороны тр-ка  DЕF совместились с сторонами тр-ка АВС,углы тр-ков также совместились, след. тр-ки равны.

112. Начертим теперь тр-к, который имел бы две стороны такиe же, как тр-к АВС (чер. 174).

Для этого возь-мем прямую DЕ = АС (чер. 175), потoм из D проведем какую-нибудь  прямую,   отложим на ней часть   DG = АВ; тогда получим тр-к DGЕ, которoго стороны DG и DЕ  будут равны сторонам АВ и АC тр-ка АВС. Если бы мы  вместо линии DG провели линии DM, DК.., равные АВ, то получили бы множество тр-ков, которые имеют с тр-ком АВC по две равных стороны. Все эти тр-ки не равны между собою, а потому все они не могут равняться и тр-ку АВС; а чтобы найти, какой именно из них равен АВС, нужно из точки D динии DF (чер. 176)   провести   прямую  DO не произвольно,   а так, чтобы она была наклонена к DF трчно так же, как АВ наклонена к АС, т.е. надо при точке D построить угол= уг. А;

тогда получится треуг. DОF, который, при наложении, совместится с АВС. Отсюда мы видим, что два тр-ка будут равны между собою, когда они имеют по две равные стороны и по равному углу, заключающемуся между этими  сторонами.

Вот еще другое доказательство. Положим, что в тр-ках АВС и DЕF (чер. 177) сторона АС=DE, АB=DЕ и уг. A=уг. D.

Представимсебе, что тр-к DЕF  наложен   на   АВС так,  что   точка D  упала в А и сторона DF пошла по стороне АС; так как DF=АС,   то   и  точка Е упадет в точку С. Угол D = уг. А, поэтому сторона DЕ пойдет по АВ, и так как DЕ=АВ, то точка Е упадет в В. Таким образом, точка F упала в С, точка Е в В; а так как между двумя точками можно провести только одну прямую  линию, то,   сдед., линия  FЕ  совместится   с  СВ.

Итак все стороны и вершины тр-ка DЕF совпали  с соответствующими сторонами и вершинами тр-ка АВС, след. тр-ки равны.

113. Начертим теперь треуг., которого все стороны были  бы равны сторонам тр-ка АВС (чер. 178).

Для этого возьмем (чер. 179) прямую DЕ = АС; потом из точки D радиусом = АВ опишем дугу и из Е рад. = СВ опишем дугу; соединив точку пересечения дуг О с точками D и Е, получим тр-к DОЕ, которого стороиы будут равны сторонам тр-ка АВС. Наложив тр-к DОЕ на АВС, увидим, что они совместятся; след. треугольники равны, если все стороны одного равны порознь сторонам другого.

Если бы мы описали дугу внизу линии DЕ, то получили бы тр-к, также равный AВС, но имеющий другое положение (перевернутый).

Таким образом два треугольника равны между собою:

1)  когда  они   имеют по одной  равной   стороне и по два равных угла;

2)   если они имеют по две равные стороны и по равному углу, заключенному между этими сторонами;

3)  если все три стороны одного тр-ка равны порознь сторонам другого.

114.  Прямоугольные треугольники равны, если они имеют:

1)  равные катеты (ибо между катетами заключаются прямые углы, а все прямые углы равны между собою):

2)  по равной  стороне и равному острому углу (ибо   прямые углы между собою).

Докажем еще, что прямоуг. тр-ки равны, если они имеют по равной гипотенузе и равному катету.

Положим, что в тр-ках AВС и DEF (чер. 180) гипотенузы АC и DF равны; кроме того АВ = DЕ. Вообразим, что тр-к DЕF наложен на АВС так, что сторона DЕ совместилась с АВ; тогда по равенству прямых уг-лов Е и В, линия ЕF пойдет по ВC и точка F упадет , где-либо на линии ВС или на её продолжении. Легко доказать, что F упадет непременно в С. Действительно, если бы F упала в М или в N, то гипотенуза DF приняла бы положение АМ или АN; линии же АМ и АN не могут равняться линии АС, ибо АМ находится к перпендикуляру АВ ближе, чем линия АС, а AN от того же перпендикуляра дальше, чем АС. Таким образом, точка F упадет в C; след., вершины всех углов тр-ка DEF совместятся с вершинами углов тр-ка АВC, а потому эти тр-ки равны.

115.   При   совмещении   тр-ка   DОЕ с AВС  (чер. 178 и 179) угол D совместится с A, уг.  O с В,  уг. Е с С; поэтому в равных треугольниках те углы  равны,   которые лежат против равных сторон.

116.   Зависимость между сторонами и углами в одном треугольнике. Возьмем равнобедрен. треуг. AВС (чер. 181), в котором сторона АВ=ВС; разделим линию АС пополам и соединим точку D с В;

тогда получим два тр-ка АВD и DВС; в этих тр-ках АВ=ВС, ВD общая (т.е. составляет   сторону и того,  и другого   тр-ка); АD = ВС, как половины   АС; след. все стороны одного тр-ка равны сторонам другого, а потому и тр-ки равны, и стало быть уг. A = уг. С. Итак, если в треугольнике две   стороны  равны,   то и углы,   против них лежащие, также равны; иначе говоря — в равнобедренном тр-ке углы  при   основании равны  между собою. Обратно — если в треугольнике два  угла  равны, то этот треугольник равнобедренный.

Из предыдущего следует, что, зная величину только одного угла равнобедр. тр-ка, можно определить и другие углы.

Если напр. уг. А (чер. 181) = 68°, то и С=68°, а след. B=180°—136° = 44°.

Если угол при вершине В = 30°, то сумма  остальных углов = 150°, а потому каждый из  них = 75°.

117. Так как треуг. АВD = DBС (чер. 181), то углы при точке D равны между собою; но эти углы смежные, и потому прямые, т.е. ВD _|_ к АC. Кроме того, уг. т = п; след. линия ВD делит уг. В пополам. А потому:

1)  линия, соединяющая вершину равнобедренного треугольника с срединою основания, перпендикулярна к основанию и делит угол при вершине пополам;

2)  перпендикуляр, опущенный из вершины равнобедрентго тр-ка на основание,   делит   основание   и угол при   вершине пополам;

3)  если из  средины основания равнобедреннаго  тр-ка  восставить перпендикуляр, то  он пройдет через вершину и разделит угол при  вершине пополам.

118. Если в тр-ке АВС (чер. 182) все стороны равны между собою, то и углы также равны и как сумма их =180°, то каждый уг. равностороннего треуг. равен 60° или ²/₃ прямого.

Наоборот — если в треугольнике все углы равны между собою, то этот треуг. равносторонний.

119. Возьмем равнобедренный тр-к АВС (чер. 183).

Если вершины его В проведем линию ВЕ до встречи с продолжением линии АС, то ВЕ будет больше ВС, так как она дальше отстоит от пераендикуляра ВD; стало быть ВЕ также больше и AВ. Вместе с тем мы видим, что в тр-ке АВЕ угол при вершине В сделался больше, чем он был в тр-ке АВС; а так как один из углов при основании остался без перемены (именно уг. А), то другой уг. должен сделаться меньше; стало быть уг. Е меньше угла т, а потому и меньше угла А. В тр-ке АВЕ сторона ВЕ больше АВ—и уг. А больше уг. Е. Итак, в треугольнике против большей стороны лежит и больший угол; и наоборот против большего угла лежит большая сторона.

120.  Вопросы. 1) Какие фигуры наз. равными? 2) Как  узнать, равны ли два тр-ка? 3) В каких случаях тр-ки бывают равны?4) Когда бывают равны прямоугольные тр-ки? 5) Какое свойетво имеют углы равнобедр. тр-ка? равностор.? разностор.?

121.  Задачи. 1) Начертить треуг. по двум данным сторонам и углу между  ними?  по стороне и двум уг..   к ней  прилежащим? по стороне и двум  уг., из которых один   прилежит к данной стороне?

2)  Начертить треуг. по трем данным   сторонам?  Всегда ли эта задача возможна?

3)  Из линий т, п, р (чер. 184) построить треугольник?

4)  Начертите масштаб и постройте треуг., которого сторона=2 арш., а прилежащие углы 69° и 41°? Измерьте стороны построенного треугольника?

5)  Построить   прямоугольный  треут. по двум катетам? по катету и прилежащему углу?

6)  Пастроить  по масштабу сажень в дюйме   прямоуг.   треуг., которого катет = 1 саж. 1 ¹/₂  арш., а прилежащий  угол = 60°?

7)  Построить треуг., которого стороны были бы 3, 4, 5 дюйм., и измерить угол, противолежащий большей стороне?

8) Можно ли построить равносторониий прямоуг.треуг.? равнобедр.?

9)  Может  ли   быть   прямой или тупой  угол   при основании равнобедренного треуг.? при вершине?

10)   Построить треуг. по катету и противолежащему углу?

11)  Построить треуг., по гипотенузе и острому углу?

12)  Начертить равнобедренный треуг,   в котором   одна из равных сторон = 3 дюйм., а угол при вершине = 70°?

13)  Чему равны углы равнобедр. прямоуг. треуг.? Чему равен внешний уг. равностороннего треуг.? Чему равна сумма внешних углов равностороннего тр-ка? всякого тр-ка?

14)  Построить треуг., которого стороны были бы 1, 3, 4 дюйм.?

15) Чему равны углы при основании равнобедренного тр-ка; если угол при вершине прямой? 40°? 2/3 прям.? 179°?

16)  Угол   при  основ. равнобедр. тр-ка = 30°; найти уг. при вершине?

17)   Построить  треуг.,  равный данному?  Показать различные  способы решения этой задачи?

18)   Построить   равнобедренный   прямоуг.   треуг.   по   данному катету?

19)  Построить равнобедр. тр-к по основанию и углу при основании?

20)  Построить равнобедр. тр-к по основанию и высоте?

21)  Данный угол разделить пополам?

22)  Построить равнобедр. треуг. по основан. АВ и углу т при вершине?

23)  Разделить угол на 4, 8. 16... равных частей?

24)  Построить треуг. по гипотенузе и катету?

25)  Через точку А провести прямую так, чтобы она проходила между двумя точками В и С и в равном от   них расстоянии?

26)  Построить равнобедр. прямоуг. тр-к по данной гипотенузе?

27)  Начертить уг. в 60° помощью циркуля и линейки?

28)  Начертить без помощи транспортира уг.  в 30°?

29)  Разделить   прямой  уг.   на 3 равные   части  посредством циркуля и линейки?

30)  Начертить уг. в 120° посредством  циркуля и линейки?

31)  Через точку О,   лежащую внутри угла,  провести прямую так, чтобы она была одинаково наклонена к сторонам угла?

32)  Построить равнобедр. прямоуг. треуг. по данной высоте?

33)  Построить  равнобедренный треуг.   по данной  высоте h и одной из равных сторон а? Всегда ли эта задача возможна?

34)  Через  вершину угла провести прямую  так,   чтобы   она oбразовала  со сторонами  угла  равные углы,   но не лежала бы внутри угла?

35)  ІІостроить треуг. так, чтобы основ. его  была  линия АВ, вершина лежала бы на линии CD,  а высота равнялась линии h .

36) Даны две точки А и B,  лежащие по одну сторону прямой СD; найти на СD такую точку, чтобы прямые, проведенные из неё к точкам А и В, составляли с СD равные углы?

37)  Что будет геометрическим местом точек, равноотстоящих от сторон данного угла?

38)  На данной линии найти точку, равноотстоящую от сторон данного угла?

39)  Внутри   равностороннего тр-ка найти такую  точку, чтобы линии,   проведенные   из   неё к вершинам  углов,   разделили треуг. на 3 равные части?

40) Разделить равносторонний треуг. на 4, равных между собою, равносторонних же треугольника?

41)  Даны две   непараллельные линии; что   будет  геометрическим местом точек, равноотстоящих от этих линий?

42)  На конце   прямой АВ, которую   продолжить  нельзя, восставить перпендикуляр?

43)  Построить   равнобедр.   треуг.   по   высоте  h  и   уг. т при основ.?

44) Построить треуг. по данной гипотенузе т, притом так, чтобы один из острых углов его был вдвое больше другого?

45)  Найти точку, равноотстоящую от вершин данного тр-ка?

46)  Найти точку, равноотстоящую от сторон тр-ка?

47)  Сколько равных равносторонних тр-ков можно   расположить около одной точки, так чтобы в этой точке они имели общую вершину? А неравных?

48)  Угол при основании равнобедреннаго тр-ка=70°; сколько таких тр-ков можно расположить около одной точки так, чтобы в этой точке они имели общую вершину?

49)  В равнобедр.   тр-ке   угол   при вершине   втрое   больше одного из уг. при основании; определить величины углов тр-ка?

50)  В треуг.   АВС уг. А = уг.B; АВ = 4³/₅   верш. = 0,35 АС. Чему равен периметр тр-ка АВC ?

51)  Каждый из углов при основании равнобедр. тр-ка на 30° больше угла при вершине; определить углы тр-ка?

52)  Уг. при вершине равнобедр. тр-ка вдвое меньше  каждого из прочих углов; определить углы?

53)  Внешний угол при вершине равнобедр. тр-ка=65°; какая сторона в тр-ке наибольшая?

54)  Доказать,   что линия, соединяющая  вершину  равнобедренного прямоуг. тр-ка с срединою гипотенузы, равна половине гипотенузы?

55)  АВС есть равнобедр. прямоуг. треуг.; уг. C прямой;   сторона АВ тр-ка продолжена за точку В; на прожолжении отложена, часть ВD = СВ и проведена прямая CD;  определить уг. СDА?

56)  Определить  углы равнобедр.   тр-ка,   если уг.   при вершине=³/₄ прям.? уг. при основании в 7 раз больше уг. при вершине? уг. при вершине = ¹/₃ уг. при основании? внешний уг. при вершине = 118° 12'?

57)  Доказать, что равнобедр. тр-ки равны, если они имеют по равной стороне и одному из углов?

58)  АСВ есть равнобедр. тр-к; уг. С при вершине его=40°; сторона АВ тр-ка   продолжена; на продолжении   отложена часть ВD=СВ и проведена прямая СD; определить величину угла СDА?

59)  В равнобедр. тр-ке, которого вершина В, продолжена за точку В сторона АВ и проведена прямая BD || основанию; уг. В тр-ка = 37°; опредедить углы. образуемые прямой ВD с стороной ВС и с продолжением стороны АВ?

60)  В равнобедр. тр-ке углы при основании разделены пополам; какого вида тр-к получился при этом?

61)  Доказать,   что внешний уг. при вершине   равнобедр. тр-ка вдвое больше внутреннего угла при основании?

62) Доказать, что если в равнобедр. тр-ке высота = ¹/₂ основания, то этот тр-к прямоугольный?

63)  Доказать, что равнобедр. прямоуг. тр-ки равны, если имеют по равной стороне?

64)  Определить углы равнобедр. тр-ка, если сумма углов, прилежащих к одной из равных сторон,   равна 114°35'? ¹⁰/₉d?

65)  В тр-ке АВС сторона АВ=ВС; уг. В на 9°36'39" больше угла А; определить углы тр-ка?

66)  Поcтроить уг. в 45°, не деля пополам прямого угла?

67)  Построить угол, вдвое больший даннoго   острoго  угла т, основываясь на свойстве внешнего угла тр-ка?

68)  Построить угол, вдвое меньший даннoго угла m,   основываясь на свойстве внешнего угла тр-ка?

69)  На какой линии лежат вершины равнобедр. тр-ков, имеющих основанием данную прямую АB?

70)  Построить такой равносторонний тр-к, чтобы   его высота была равна данной прямой h ?

71)  Построить  такой   прямоуг.   тр-к, чтобы   перпендикуляр, опущенный из вершины  прямого угла  на гипотенузу, равнялся данной прямой h, а один из отрезков гипотенузы был равен данной прямой т?

72)  Построить такой прямоуг. тр-к, чтобы один из катетов его равнялся данной  прямой т, а прилежащий к этому  катету отрезок гипотонузы,   образованный перпендикуляром,   опущенным на нее из  вершины прямого  угла,   был   равен   данной прямой п?

73)  Построить такой прямоуг. тр-к, чтобы   один из отрезков гипотенузы, образованных перпендикуляром, опущенным на нее из вершины прямого угла, был равен данной прямой т, а прилежащий уг. равнялся бы данному углу п?

74)  Построить  такой тр-к, чтоб основание его   было   равно данной  прямой а, прилежащий угол = данному  углу т, а сумма прочих сторон равнялась данной прямой b.

ОТВЕТЫ