ГЛАВА VII.

ОБ ОКРУЖНОСТИ .

147.   Отложим на окружности (чер. 214) двe равные дуги АВ и DЕ; если   наложим   сегмент  АСВ на сегм. ЕFD, то   конечныe   точки   дуг   совмeстятся, так как дуги равны, а слeд. и хорды АВ и DЕ тоже совмeстятся.

Итак, если в одной и той же окружности (или в равных окружностях) дуги равны, то и хорды, соотвeтствующие им, также равны; и наоборот — если хорды равны, то и дуги равны.

148.   С  увеличением   дуги  увеличивается  и  хорда;   так,  дуга АВ (чер. 215.) больше АС— и хорда АВ больше хорды АС; но это увеличение   хорды   происходит  только до тeх пор,  пока   дуга   не   обратится   в полуокружность—тогда хорда сдeлается диаметром; затeм, при дальнeйшем увеличении    дуги,    хорда, как видно, уже будет уменьшаться, так что диаметр есть самая большая хорда.

Что диаметр больше всякой другой хорды, можно доказать слeдующим образом. Возьмем какую-нибудь хорду АВ (чер. 216) и соеднним концы её с центром О; линия АВ прямая, а АО и ОВ составляют ломаную лииию; слeд. АО + ОВ > АВ; но АО и ОВ суть радиусы, а сумма двух радиусов = диаметру; поэтому диаметр больше хорды АВ.

149. Возьмем какую-нибудь хорду АВ (чер. 217) и опустим на нее из центра перпендикудяр СD. Если проведем динии СА и СВ, то они будут равны, как радиусы; но равные наклонные находятся в одинаковом расстоянии  от перпендикуляра; след. АD = DВ.

Итак, радиус, перпендикулярный к хорде, делит ее пополам. Он делит также и дугу, соответствующую хорде, пополам; в этом можно убедиться, продолжив CD до встречи с окружностью и соединив точку Е с А и В: линии ЕА и ЕВ равны, как наклонные, равно удаленные от перпендикуляра; а если хорды ЕА и ЕВ равны, то дуги ЕА и ЕВ также равны.

Наоборот—если из средины хорды восставим перпендикуляр, то он пройдет через центр. На основании этого можно найти центр круга или дуги. Для этого возьмем на окружности или на дуге (чер. 218) три точки А, В, С и проведем хорды АВ, ВС; центр должен находиться на пересечении перпендикуляров, восставленных из средин этих хорд.

150.  Возьмем  две  равные хорды   (чер. 219) АВ и СD и определим их расстояния от центра; расстояние прямой линии от точки измеряется периенднкуляром; поэтому опу-стим из центра O перпендикуляры   ОМ и ОN; измерив их, увидим,   что   они равны между собою;  итак, равные хорды  находятся в равных расстояниях от центра.

151.Из двух неравных хорд (чер. 220) большая лежит ближе к центру, чем меньшая.

152.  Проведем касательную АВ (чер. 221) и соеднним точку её прикосновения С с центром O; точка С находится бдиже к центру, чем все прочие точки каоательной, потому  что С лежит на окружн., а все другие точки касательной лежат вне круга; след. ОС_|_АВ. Итак, радиус, проведенный в точку прикосновения, перпендикулярен к касательной.

Чтобы в какой-нибудь точке окружности провести к окружности касательную, должно эту точку соединить с центром, потом из неё восставить к радиусу перпенд. Огсюда следует, что в каждой точке окружности можно провести только одну касательную.

153.  Вопросы.   1) Доказать,  что   если дуги равны, то и хорды равны—и обратно? 2) Какое свойство радиуса, проведенного перпендикулярно к хорде?   3) Как найти центр круга или дуги? 4) Какое свойство равных и неравных хорд относительно их расстояния   от центра?   5) В каком   положении   относительно касательной находится радиус, проведенный в точку прикосновения? 6) Сколько касательных можно провести в одной точке окружности?

154.  Задачи. 1) Разделить дугу пополам?

2)  Разделить дугу на 4, 8, 16, вообще на  2•2•2... равных частей?

3)  Провести окружн., касательную к данной прямой линии в данной точке? Сколько может быть таких окружн.? Что будет геометрическим местом их центров? Что должно быть дано, чтобы задача сделалась определенною?

4)  Через точку А, данную внутри круга, провести хорду так, чтобы она в этой точке делилась пополам?

5)  Описать данным радиусом окружн.. касательную к данной прямой? Сколько может  быть   таких окружностей? Что будет геометрическим местом их центров? Что должно быть дано, чтобы задача сделалась определенною?

6)  Описать окружность так, чтобы она проходила чрез точку O и касалась прямой линии МN в точке А?

7)  Всегда ли возможна предыдущая задача?

8)  Какую линию описывает центр круга, катящегося по прямой?

9)  Найти кратчайшее расстояние точки от окружности?

10)  Описать радиусом   а  окружность так,  чтобы она проходила через точку С и чтобы центр её находился на прямой DE ?

11) Сколько решений  имеет предыдущая задача? В каком случае она имеет одно решение? В каком случае она невозможна?

12)  Найти наибольшее расстояние точки от окружности?

13)  Описать окружность  радиусом а так,   чтобы  центр её находился на прямой MN и она касалась бы прямой CD?

14) Провести к кругу касательную, параллельную данной прямой?

15) Провести к кругу касательную, перпенд. к данной прямой?

16) Провести к кругу касательную так, чтобы она составила с данной линией МN угол, равный данному?

17)  Описать окружность, касательную к двум параллельным линиям? Сколько может быть таких окружностей? что будет геометрическим местом их центров?

18)  Описать окружность  так,   чтобы она касалась  к двум параллельным линиям и чтобы центр её находился на данной линии? Всегда ли эта задача возможна?

19)  Описать окружн., касател. к двум не параллельным линиям?

20)  Описать   окружность,  касательную к сторонам   данного угла, притом так,   чтобы центр её находился   на данной линии? В каком случае эта задача невозможна?

21)  Определить длину наибольшей хорды в круге рад. 3 дюйм.?

22)  Определить   величину  угла, которого   вершина в центре круга, а стороны опираются на концы хорды, равной радиусу?

23)  В круге проведена хорда =3,75 фута; к ней восставлен перпендикуляр,   отстоящий   от   одного   из концов её на 1,8 дюйма; проходит ли этот перпендикуляр через центр?

24)  Определить, на каком расстоянии от центра круга находится хорда, стягивающая дугу в 90°,   если  длина хорды = 3,5  вершка?

25)  К кругу проведена касательная и на ней взята точка А, которой расстояние от точки прикосн.=радиусу. Какой угол образуют линии, соединяющие точку А и точку прикосн. с центром?

ОТВЕТЫ