ГЛАВА VII.

ОБ ОКРУЖНОСТИ .

158. Углы вписанные в круге. Если возьмем круг (чер. 228) и построим уг. АСВ так, чтобы вершина его находилась в центре   круга, то   этот   уг. наз. центральным, и мы уже знаем, что сколько  будет градусов в дуге   АВ,   столко же и в угле АСВ,   т.е.   центральный    уг.   измеряется соответствующей ему дугою.

Угол, имеющий вершину на окружности и сторонами которого служат хорды, напр. уг. АСВ (чер. 229), наз.   уг.   вписанным.

Если мы измерим транспортиром сперва вписанный уг. С, а потом центральный уг. О, опирающийся на ту же дугу АВ,   то   увидим, что С составляет ¹/₂ О. Какой бы мы   ни   ваяли вписанный уг., измерив его, мы увидим то же самое: всегда вписанный уг. составляет половину центральнаго угла, опирающагося на ту же дугу. Таким образом, всякий вписан. уг. содержит в себе половину того числа градусов, минут..., которое содержится   в   соответствующей   ему   дуге; иначе говоря—вписанный уг. измеряется половиною   дуги,   содержащейся  между  его  сторонами;   если напр. в дуге АВ будет 100°, то уг. С=50°.

159. Предыдущее правило можно доказать, не измеряя транспортиром углов, вписанного и центрального. Для этого мы рассмотрим три случая:

1)  Возьмем   вписанный уг. (чер. 230)  т,   состоящий из диаметра АС  и  хорды ВС.   Соединив  центр О с В, получим уг. п, который будет   внешний   относительно тр-ка ОВС; след. п = т + р; но т = р, потому что тр-к ОВС равнобедр.; след. п =2т , а потому т =¹/₂ п.

2)  Уг. т (чер. 231)  состоит  из  двух   хорд  СА и СВ, и центр находится между сторонами угла. Проведем диаметр CD; тогда уг. m разделится   на   два угла, из   которых каждый состоит из диам. и хорды; так как, по предыдущему, уг. АСD измеряется ¹/₂AD, уг- DCВ измеряется ¹/₂DB,  то уг. т ,  равный сумме угл. АСD  и  DСВ,   должен   измеряться  половиной суммы дуг АD и DВ, т.е. ¹/₂ АВ.

3)  Уг.   т  (чер.   232)   состоит из двух   хорд СА и  СВ, и центр находится вне угла. Проведем диам. СD; тогда уг.   т = уг. АСD —уг. ВСD, тот и другой из этих угл, состоит из диаметра и хорды, след. АCD измеряется ¹/₂ AD, а ВСD—половиной  ВD;  поэтому уг. т должен   измеряться  половиной разности  между  дугой АD и дугой  ВD, т.-е.   половиной дуги AВ, содержащейся между его сторонами.

160. Угол может иметь вершину на окружности, но не быть вписанным, именно если он состоит из хорды АВ (чер. 233) и касательной ВС.

Чтобы узнать, чем измеряется уг. АВС (чер. 233), возьмем сначала уг. АВС (чер. 234), состоящий из двух хорд; он, как мы знаем, измеряется ¹/₂АС;  если сторона ВС этого угла будет повертываться около точки В влево, принимая последовательно положения ВD, BЕ..., то точка, в которой она пересекает окружность, будет приближаться к точке В, а угол все будет измеряться половиной дуги, содержащейся между его сторонами; наконец сторона ВС обратится в касательную, и уг. АВС (чер. 233), состоящий из хорды и касательной, будет измеряться ¹/₂ дуги, содержащейся между его сторонами. Если наприм. дуга АМВ (чер. 233) содержит 110°, то уг. B =55°.

161. Из § 158 следует:

1) Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собою; так (чер. 235), уг. M=D=C, ибо все они измеряются половиной одной и той же дуги AВ.

2) Вписанный угол, опирающийся на концы диаметра, есть прямой, потому что ему соответствует дуга = 180°, сдед. он =90°; так, углы М, N, Р (чер. 236) суть прямые.

На этом последнем свойстве основано решение задачи: через точку А (чер. 237), лежащую вне окружности СDВ, провести к этой окружности касателную.

Для этого соединим А с центром О, опишием на АО окружн., соединим точки пересечения В и С , обеих окружностей с А; линии АВ и АС будут касательные. Действительно, если проведем в В и С радиусы ОВ и ОС, то вписанные углы ОАВ и ОСА, как опирающиеся на концы диаметра АО, будут прямые; след. ВА и СА перпендикулярны к радиусам и потому будут касательные.

162. Рассмотрим еще, чем измеряются рглы, имеющие вершину внутри и вне круга.

Продолжим стороны угла т (чер. 238) и соединим точку А с D;  уг. т будет внешний  для тр-ка АВD, след. т = п + р; но п измеряется ¹/₂ AС, а р измеряется ¹/₂DЕ; след. т измеряется полусуммою дуг АC и DЕ. Таким образом угол, имеющий вершину внутри круга, измеряется полусуммою дуг, заключающихся   между   его    сторонами   и   их   продолжениями.   Если напр. дуга  АС=120°, а DЕ=40, то уг.

163. Если угол имеет вершину вне круга, то он может состоять:

1) из двух секущих (чер. 239).

2) из секущей и касательной (чер. 240) и

3) из двух касательных (чер. 241). Угол, состоящий из двух касательных (чер. 241), наз. описанным углом.

Угол, имеющий  вершину вне круга,  измеряется полуразностю дуг, содержащихся   между его сторонами:   если   напр.  (чер. 239) дуга АС= 60°,   а   дуга  DЕ= 15°,   то   уг.   

1)  Соединив точку D с C (чер. 239), получим тр-к DВС, для котораго уг. п будет внeшний; а потому уг. m = уг. п—уг. р; но углы п и р суть  вписанные,   слeд.  п   измeряется ¹/₂ дуги АС, а р—половиной  DE поэтому т измeряется полуразностью дуг AC и DЕ.

2)  Если мы представим себe, что сторона АВ (чер. 239) угла АBC будет повертываться влeво около точки В, то точки А и D будут сближаться между собою, а уг. т все будет измeряться полуразностью дуг, заключающихся между его сторонами; когда точки А и D сольются в одну точку, то одна сторона угла обратится в касательную, и уг. т (чер. 240), состоящий из сeкущей ВС и касательной АВ, будет также измeряться полуразностью дуг АС и АЕ.

3) Если вообразим, что сторона СВ угла т (чер. 240) повертывается около точки В вправо, то она наконец сдeлается касательною, и описанный уг. т (чер. 241) будет измeряться полуразностью дуг АЕС и АDC.

164. Задачи. 1) Сколько градусов содержит вписанный угол, опирающийся на дугу в четверть окружности? в 60°? в 135°? 70°40'? 116°10'24"? 214°І7'36"? 280°? 340°?

2)  Окружность дeлится хордою AВ на двe части — большую  ACВ  и меныпую АDВ; какого   вида   будет  уг.   АBD и АСВ? Чему = их сумма?

3)    Вписан.   уг.   АВC = 38°;   сколько град. в дугe АС?

4)  Начертить  нeсколько   прямых , уг-лов, которые опирались бы на прямую АВ?

5)  Что   будет   геометричеекши  мeстом   вершин   прямоуг. р-ков (чер. 242), имeющих общую гипотенузу?

6)  Построить   прямоуг.   тр-к   по данной гипотенузe а и перпендикуляру h, опущенному  на нее из вершиньт прямого угла? Сколько рeшений имeет эта задача и в каком случаe она невозможна?

7)  Два угла имeют вершину на окружности; сумма их=100°, один опирается на дугу 70°; опредeлить эти углы?

8)  Два угла, из которых один впятеро больше другого, имeют вершину на окруж.; один из них опирается на дугу=¹/₁₀ окружн.; опредeлить эти уг.?

9)  Хорда АВ дeлит окружность на части, из которых одна вчетверо больше  другой;  опредeлить вписан. углы, опирающиеся на АВ ?

10)  Восставить перпенд. из конца А прямой АВ, не продолжая её?

11)  Опредeлить  длину  линии,   соединяющей  вершину прямого угла с серединою гипотенузы?

12)  Через точку А, данную внe круга, провести сeкущую так, чтобы её отрeзок внутри круга равнялся данной линии а?

13)  Из точки А, лежащей  на  окружности, проведены хорды АВ и АС;  дуга  АВ = 143°30',  дуга  АС=47°30';   опредeлить уг. ВАС?

14)  Опредeлить   вписан.    уг.,    опирающийся    на   дугу = 0,15 окруж.?

15)  Уг. ВАС имeет   вершину на окружности и опирается на концы диаметра ВС; опредeлить   углы,   образуемые хордами АВ и АС с диаметром,   если  точка А  дeлит полуокружность на двe части, из  которых   одна = ³/₇  другой? если эти части находятся в отнош. 5 :13? 0,3 : 0,42?

16)  Дуга АВС=0,9 полуокружности; чему равен уг. АВС?

17)  Хорда дeлит окружн. на части, из   которых одна=⁷/₁₇ другой; опредeлить  величины  вписан.   углов,   опирающихся на эту хорду?

18)  Хорды АВ  и   СD  образуют  при  пересeчении  угол в З5¹/₂; опредeлить в градусах,   минутах,   секундах величины дуг АD и ВС, если отношение их=5?

19)  Хорда АВ дeлит   окружность   в   отношении 3:5; какие углы образует она с касательной, проведенной в точкe А или в B?

20)  Точка А находится внe окружности; из А проведены двe сeкущия АВС и АDF; точки D и С соединены хордою DС: уг. СDF=30°, дуга BD=47°; опредeлить уг. САF?

21) Касательная к окружности пересeкается с продолженным диаметром под угл. 57°27'; опредeлить дуги, заключенныe между точкой касания и концами диаметра?

22)  Из точки,  лежащей  внe  круга, проведены двe сeкущиe; они образуют  угол   в   26°10'  и   отсeкают   от окружности дуги в 87°16'  и   95°12';   опредeлить   дуги,   заключенныt между сторонами угла?

23)  Опредeлить  угол,   образуемый  двумя касателышми, если дуга. заключающаяся между точками прикосновения, равна 128°28'?

24)  Окружность раздeлена на 3 части, относящияся между собой как 3 : 4: 5, и через точки дeления проведены касательныe; опредeлить величины углов, образуемых касательными?

25)  Из точки М, лежащей   внe   окружности,   проведены двe прямыя  линии,   составляющия  уг.   в  22°30';   одна  пересeкает окружность в точках A и B; другая—в точках С и D; точки А и C ближе к M, чeм   точки   В и D. Опредeлить дуги BD и AС, если угол, образуемый хордами АD и ВС, равен 33¹/₂°?

26)  Тупой уг. имeет   вершину на окружн.;   одна из сторон его дeлит окружн.   на  двe части, из которых в одной 27°; другая же часть   окружности  дeлится   другой  стороной угла на части, из которых одна=⁴/₅ другой. Опредeлить этот уг.?

ОТВЕТЫ