ГЛАВА XII.

ИЗМЕРЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ТЕЛ .

274. Поверхности многогранников. Сумма площадей всех граней многогранника составляет его поверхность, и так как эти грани ограничены прямыми линиями, то мы всегда можем определить их площади, а след. и поверхность многогранника.

Возьмем напр. пирамиду SАВСD (чер. 413); она ограничена с боков четырьмя тр-ками. Площадь тр-ка=основанию, умноженному на ¹/₂ высоты; поэтому измерим основания тр-ков, напр. АВ, ВС, СD, АD, и высоты их, т.-е. перпендикуляры, опущеныые из S на эти линии. Если напр. нашли, что АВ=5, ВС=7, СD=6, DА=4 фут., а перпендикуляры равны 15, 14,12 и 10  фут.,то сумма пдощадей=5•¹⁵/₂+ 7•¹⁴/₂+6•¹²/₂+4•¹⁰/₂=142¹/₂ кв. ф.

Мы определили площади боковых граней пирамиды, и 142¹/₂ кв. ф. представляют боковую поверхность её; чтоб опредедить всю поверхн., должно к боковой поверх. придать еще площ. основания, т.е. площ, четыреуг. АВСD, которую также легко определить.

275. Поверхность правильной пирамиды. Возьмем прав. пирам. SАВСDЕ (чер. 414); у неё в основании прав. пятиуг., а с боков она ограничеаа пятью равными тр-ками; след,, чтобы опредедить её боковую поверхность, должно опредедить площ. только одного тр- ка, напр.SAE, и умножить ее на число тр-ков, т.-е. на 5.

Если в  тр-ке SАЕ примем за основание линию АЕ, то высота его будет перпендикуляр SO, опущенный из S на АЕ; перпендакуляр этот наз. апофемою пирамиды. Площ. тр-ка SАЕ=АЕ, умноженной на ¹/₂ апофемы SO; боковая поверхность пирамиды будет в 5 раз больше этой площади; но 5 раз взятая линия АЕ составляет периметр основания пирамид., так как основанием служит пятиуг-к правильный, т.е. такой, которого все стороны равны; след. боковая поверхность правильной пирамиды = периметру её основания, умноженному на ¹/₂ апофемы. Чтобы определить всю поверхность, должно к боковой поверхности придать площадь основания. Пусть напр. надо определить пов. прав. пир., у которой в основании квадрат, имеющий сторону=2 фут.; апофема же пир. пусть будет=10 фут. Так как перим. основ.=8 фут., то бок. пов. пирам.=8•5=40 квадр. фут.; площ. основ.=4 кв. фут.; след. вся повер. пир.=44 кв. фут.

276. Поверхность правильной усеченной пирамиды. Прав. усеч. пир. (чер. 415) ограничена с боков равными трапециями; след. чтобы определить её бок. пов., нужно определить пдощ. одной трап., напр. ADаb, и умножить ее на число граней (в нашем примере на 4).

Площадь трап. = полусумме параллельных сторон АD и аd, умноженной на высоту MN, или на апофему пирамиды; боковая повер. пирамиды в 4 раза больше этой площади; но линия АD, взятая 4 раза, составляет периметр нижнeго основания; линия аd, взятая 4 раза составляет периметр верхнего основания; след. бок. пов. прав. усеч. пир.=полусумме периметров верхнего и нижнего основания, умноженной на апофему. Чтобы найти полную поверхность, должно к боковой поверхности придать сумму площадей оснований.

277. Поверхность прямой призмы. Возьмем прямую призму АBCDabcd (чер. 416); она ограничена с боков прямоуг. Аb, Аd, Dс, Сb, которые имеют равныe высоты, а именно ребра призмы Аа, Вb..., а основания их составляют периметр основания призмы; площадь каждoго прямоуг.=основанию, умноженному на высоту, след. бок. пов. прямой призмы = периметру её основания, умноженному на боковое ребро. Чтоб найти всю поверхность призмы, должно к боковой поверх. прибавить двойную площадь одного из её оснований (так как основания равны между собою).

Определим для примера поверх. прямоуг. параллелеп., который имеет в длину 8, в ширину 6, в вышину 10 верш.

Так как периметр его основания = 28 верш., то бок. пов. его = 280 кв. вер.; площ. основания = 8•6 кв. верш.; след. вся поверх. = 280 + 96 = 376 кв. верш.=1 кв. арш. 120 кв. верш.=1¹⁵/₃₂ кв. арш.

Возьмем еще задачу. Сколько стоит оклеить обоями зал, которого длина 4 саж., ширина 7 арш., вышина до карниза 6¹/₂ арш., если в зале 4 окна, по 3¹/₂ арш. вышины и 1¹/₂ арш. ширины, и две двери в 2¹/₂ арш. ширины и 5³/₄ арш. вышины? Кусок обоев имеет в длину 11 арш., а в ширину 12 верш. и стоит 50 коп., кусок бордюра длиною в 10 арш. стоит 30 коп; за работу просят по 15 коп. с куска обоев.

Нам нужно определить бок. поверхн. параллелеп., которого основание есть прямоуг., имеющий в одной стороне 12, а в другой 7 арш.; боковое же ребро этого параллелеп.= = 6¹/₂ арш. Перим. основ. = 38 арш., след. бок. пов. = =38•¹³/₂= 247 кв. арш. Отсюда надо вычесть площади окон и дверей, т.е. 4•3¹/₂ •1¹/₂ + 2•2¹/₂•5³/₄=49³/₄ кв. арш.; тогда найдем, что та часть поверхности, которая должна быть оклеена обоями, составдяет 197¹/₄  кв. арш. Кусок обоев содержит 11• ³/₄=³³/₄ кв. арш.; разделив 197 ¹/₄ на ³³/₄, получим 23 с дробью; сдед. нужно взять 24 куска обоев, да еще 38 арш. бордюра, т.е. 4 куска; это все стоит 13 руб. 20 коп.; прибавив сюда 4 р. 20 к. за работу, увидим, что оклейка обойдется в 17 р. 20 коп.

278. Поверхность цилиндра. Мы видели, что если боковую поверх. прямого цилиндра развернуть в плоскость, то получим прямоуг., у которого основ. будет=окружн. цилиндра, а высотой—образующая; площадь прямоуг.=произведению основания на высоту; след. боковая поверхн. цилиндра=произведеиию окружности его основания на образующую, а чтоб получить всю поверх. цилиндра, должно к бок. по-верх. придать двойную площадь одного из оснований. Если напр. радиус основ. цил.=7 верш., а образующая=10 верш., то окруж. цилин.=14•²²/₇=44 верш., а боковая поверх.=  44•10 = 440 кв. верш.; площ. основ.=44•⁷/₂=154 кв. верш.; след. вся поверх. цил.=440+2•154=748 кв. верш.

279. Поверхность конуса. Боковая поверхность прямого конуса, будучи развернута в плоскость, представдяет сектор, которого дуга = окружности основания конуса, а радиус=образующей; площадь сектора=его дуге, уможенной на половину радиуса; след. боковая поверхность конуса=окружности его основания, умноженной на половину образующей. Если напр. рад. основ. = 15 дюйм., а образующая=40 дюйм., то бок. пов,=28 •²²/₇  •20  = 1760 кв. дюйм.; вся поверхность = бок. поверх. + площ. основ. = 1760 + 28 •²²/₇ •7=2376 кв. д.

280.   Поверхность   прямого   усеченного конуса. Прямой конус можно считать за прав. пирам., у которой основание круг, а не многоуг., или прав. пирам. имеющую бесчисленное множество граней; поэтому бок. поверх. прям. усеч. кон. должна определяться так.же, как и бок. пов. прав. усеч. пирам., т.е. она.=полусумме окружностей верхнего и нижнего оснований., умноженной на образующую.

Если напр. рад. верхнего основ. =  1 дюйму, рад. нижнего = 3 дюйм., а образующая АВ=14 дюйм., то окруж. верх. основ.= 2 •²²/₇= ⁴⁴/₇ дюйм.; окруж. ниж. основ. =  6•²²/₇ = ¹³²/₇ дюйм.; полусумма этих окруж= ¹⁷⁶/₇ : 2=¹⁷⁶/₁₄ д., след. бок. пов. = ¹⁷⁶/₁₄•14=176 кв. дюйм. Чтоб получить всю пов., должно придать к бок. пов. сумму площадей оснований; площ. верх.осн.=2•²²/₇•¹/₂=²²/₇  кв. дюйм.; площ. нижнего=6•²²/₇•³/₂=¹⁹⁸/₇ кв. дюйм.; след. вся пов.=176+²²⁰/₇=207³/₇  кв. дюйм.

281.   Поверхность шара.   Найдем, что поверхность  щара в 4 раза больше  площади   его  болшого  круга,   т.е.   такого круга, которого радиус = радиусу   шара.   Положим напр., что рад. шара = 21   дюйм.;   тогда площ. большого круга = 21²•²²/₇=2386 кв. дюйм., а след. пов. шара = 4•1386= =5544 кв. дюйм.

282.  Если  радиус   одного   шара   вдвое   больше   радиуса другого, то площадь   большого круга   его будет,   как мы знаем, вчетверо больше, а потому и поверх. вчетверо больше, если  радиус  втрое   больше,  то  поверх.   в 9 раз больше и т. д.; вообще поверхности шаров относятся как квадраты радиусов.

283.  Вопросы. 1) Что наз. поверхностью многогранника? 2) Какими мерами измеряются поверхности тел? 3) Сказать несколько примеров, где бы надо было определить поверх. тела? 4) Чему равна боковая и полная поверхн. прав. пирамиды? прав. усечен. пирам.? 5) Чему равна боков. и полная поверх. прямой призмы? конуса? цилиндра? усеченного конуса? 6) Чему равна повер. шара? 7) Как относятся между собою поверхности шаров?

284.  Задачи.  Примеч.  В тех задачах,  для  решения которых нужно пользоваться отношением окружн. к диам., принять это отнош.= ²²/₇.

1)  Определить  поверхность   прямоуг.   параллелеп.,   которого боковое ребро=3 арш., а стороны основания 6 и 9 арш.?

2)  Комната имеет  в   длину 8, в ширину   6,   в вышину 4 арш.; в ней три окна в 1¹/₂ арш.   ширины и 2 арш.   вышины и две двери шириною 2 арш., вышиной 2 арш. 12 верш. Сколько пойдет кусков обоев на оклейку этой  комнаты, если кусок имеет 9 арш. в длину и ³/₄ арш. в ширину?

3)  Во что обойдется  позолота с наружной  стороны  кубического ящика, которого ребро = 6 верш., если вызолотить один квадр. верш. стоит 1 р. 50 к.?

4)  Определить поверхность правильной усеченней четырехугольной пирамиды,  стороны   оснований   которой   суть 6 и 2 арш., а апофема=4 арш.?

3) Определить бок. пов. прямой призмы, у которой в основании правильный 6-к, которого сторона=1 арш., а боковое ребро  = 1 саж.?

6)  Определить поверхность цилиндра, которого радиус=2 арш., а образующая втрое больше диаметра?

7)  Определить   поверхность   цилиндра,   которого   диаметр   и образующая равны 1 арш.?

8)  Имеем прямоугольник,   которого высота 2 арш., а основание 1 арш.; сравнить бок. поверх. цилиндров, происходящих от обращения этого прямоугольника около его основания и около высоты?

9) Определить поверхность конуса, зная, что радиус его основания=¹/₄ арш., а образующая=14 верш.?

10)  Определить поверхность шара, которого радиус=1 саж.?

11)  Что будет стоить позолотить шар, которого рад. = 372 дюйм., если позолота 1 квадр. дюйма обходится в 50 коп.?

12)  Радиус земного шара=6000 верст; ³/₄ всей поверхности земли покрыты водою; сколько десятин занимает суша?

13)  Определить поверх. усеченного конуса, которого образующая=6 дюйм., рад. нижнего   основ.=7 дюйм., а верхнего вдвое меньше?

14)  На позолоту одного шара идет 36 золотн. золота; сколько нужно золота для позолоты другого шара , которого радиус втрое меньше первого? вдвое больше? в 9 раз больше?

15)  Диаметр луны вчетверо меньше, а диаметр солнца в 100 раз больше диаметра земли; во сколько раз поверхность луны меньше, а солнца больше поверхности земли?

16)  Определить   пов. шара,   если   окружн.  большого круга = 1³/₈ арш.?

17) Сколько нужно алебастра для штукатурки стен и потолка комнаты, длиною в 10¹/₂ арш., шириной в 5 арш., вышиной в 8 арш., если в комнате 3 окна, по 1 арш. 14 верш.  ширины и 3 арш. вышины, и две двери в 1 арш. 5 верш. ширины и 4 арш. вышины, и если на 1 кв. саж. идет 24 фунт. алебастра?

18)  Крыша башни имеет вид усечен. конуса, которого образующая=5 арш., рад. верхнего основан. = 2, а нижнего 5 арш. Сколько железных  листов в 2 арш.  длины и 1¹/₄ арш. ширины пойдет на покрытие этой крыши, если на загибание листов. идет 10% лишку?

19)  Имеем два тела — цилиндр и шар; рад.   основ. цил.= рад. шара, а высота цил.=диаметру шара; сравнить их поверхности?

20)  Поверхность   одного   шара в 25 раз   больше поверхности другого;   во   сколько  раз   диаметр   первого   больше, чем второго?

21)  Боковая поверхность прав. шестиугольн. пирамиды=18 кв. арш.; апофема=3 арш.; чему равно  каждое ребро основания пирамиды?

22) Поверхность куба=54 кв. вершк.; чему равно ребро куба?

23) Боковая поверхность   цилиндра=2 кв. фут. 64 кв. дюйм., а образующая=²/₃ фут.; определить радиус основания цилиндра?

24) Боковая   поверх.   куба = 64 кв. верш.;  определить ребро куба?

25) Сколько нужно   пудов краски,   чтобы окрасить 100 брусьев, имеющих   вид   прямоугольных  параллелепипедов, в основании которых квадрат в 36 квадр. верш., а высота = 5 арш., если на 10 квадр. саж. идет 15 фун. краски?

26) Поверх. куба=1¹/₂ кв. арш.; сколько вершков в ребре?

27)  Что   стоит   позолотить   изнутри   чашку,   имеющую   вид полушара, которого радиус=2 верш., если на 1 кв. дюйм идет ³/₈ золотника золота, а золотник с работой стоит 3 р. 20 к.?

28)  Боковая поверхность конуса=132   квадр. дюйм.; образующая=72 арш.; определить радиус основания конуса?

29) Прямоуг. параллелеп. имеет в основании квадрат, которого пл..=64 кв. дюйм.; поверх. параллелеп.=640 кв. д.; опред. высоту его?

30) Боковая поверхность цилиндра = 88 кв. дюйм.; рад. основания=1 верш.; определить образующую?

31) Определить поверхность шара, если окруж. большого круга=110 верш.?

 32) Вся поверхность цилиндра=141³/₇ кв.дюйм.;окружноеть основания=18⁶/₇ дюйм.; найти отношение образующей к радиусу?

33)  Поверхность конуса=125³/₇ кв. фут.; площадь основания= 50²/₇ кв. фут.; определить образующую?

34)  Поверх. шара=314²/₇ кв. верш.; определить радиус?

35)  Боковая  поверхность   правильной   усеченной треугольной пирамиды=525 кв. дюйм.; отрезок апофемы=10 верш.; площадь верхнего сечения в 9 раз меньше площади нижнего основания; сколько дюйм. содержит ребро верхнего сечения?

36) Боковая поверхность куба на 108 кв. фут. больше площади каждой его грани; определить ребро куба?

37) Боковая поверх. прямоугольного параллелепипеда= 52¹/₂ кв. фут.; высота его=1,5 арш.; разность между сторонами основания=3³/₇ вершка; определить всю поверхность параллелепипеда в кв. ф?

38)  Бок. пов.   прав.   четырехугольной   пирамиды = 1 кв. арш.; апофема её=2¹/₃ фут.; найти, во сколько раз бок. повер. больше или меньше   площади   основания, и чему равна вся поверхность пирамиды?

39)  Определить   боковую   поверхность   правильной усеченной шестиутольной пирамиды, в которой ребро нижнего основания= 5 фут., апофема=8 фут., а площадь верхнего сечения в 16 раз меньше площади основания?

40)  Прямоугольный параллелепипед имеет в основании квадрат; боковое ребро его=1 футу; боковая порерхность=1¹/₃ кв. фут..; сколько дюйм. содержит ребро основания?

41)  Бок. повер. прямоуг.  параллелеп.=⁵/₆ кв. фут.; высота=5 дюйм.; отнош. ребер основания=3; определить ребра?

42)  В куб вписан цилиндр так, что плоскости его оснований совпадают с плоскостями оснований куба, а боковая пов. цилиндра касается остальных граней куба; ребро куба=7 дюйм.; определить бок. поверхн. цилиндра?

43)  В куб вписан шар, так что он касается всех граней куба; ребро куба=3,5 вершк.; определить пов. шара?

44)   Определить угол сектора, который   получится, если развернуть в плоскость   бок. пов. конуса, которого диам. основ.= =12¹/₄ дюйм., а образующ.=15³/₄ вершк.?

45)  Определить высоту цилиндра, если рад. основ. = 1 верш., а сечение плоскостью по оси равновелико основанию?

46)  Боковая пов. кон., будучи развернута в плоскость, представляет четверть круга, которого  рад.=1,75 арш.; определить рад. основ. конуса?

47)  Диам. основ. цилиндра=высоте его; определить отношение площади сечения,   проходящего   через   ось цилиндра, к площ. его основ.?

48)  Определить   угол   сектора,  в  который   развертывается  боков. пов. кон. имеющего образующую=1 ф. 33/4 дюйм., а рад. основ.=3,5 дюйм.?

49)  Вся поверхность прямоуг. параллелепипеда=90 кв. верш; она на 18 кв. верш. больше   боковой его поверх.; в основании параллелеп. находится квадрат;  определить ребра параллелеп.?

50)  Бок. пов. прямой  призмы=1680 кв. дюйм.;   ребро её=20 дюйм., а основание  есть   прав. 6-к; определить   бок. и полную пов. прямого цилиндра, которого высота=ребру призмы, а основание есть круг, описанный около основ. призмы?

51)  Пересекши  конус  плоскостью  по   оси,  получим   прав. 3-к, которого периметр=42; определить всю пов. кон.?

ОТВЕТЫ