Г Л А В А I.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.
§11. СМЕЖНЫЕ И ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ.
1. Смежные углы.
Если мы продолжим сторону какого-нибудь угла за его вершину, то получим два угла (черт. 72): / А ВС и / СВD, у которых одна сторона ВС общая, а две другие АВи ВD составляют прямую линию.
Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие составляют прямую линию, называются смежными углами.
Смежные углы можно получить и таким образом: если из какой-нибудь точки прямой проведём луч (не лежащий на данной прямой), то получим смежные углы.
Например, /
АDF и /
FDВ — углы смежные (черт. 73).
Смежные углы могут иметь самые разнообразные положения (черт. 74).
Смежные углы в сумме составляют развёрнутый угол, поэтому сумма двух смежных углов равна 2d.
Отсюда прямой угол можно определить как угол, равный своему смежному углу.
Зная величину одного из смежных углов, мы можем найти величину другого смежного с ним угла.
Например, если один из смежных углов равен 3/5 d, то второй угол будет равен:
2d — 3/5 d = l 2/5 d.
2. Вертикальные углы.
Если мы продолжим стороны угла за его вершину, то получим вертикальные углы. На чертеже 75 углы EOF и АОС— вертикальные; углы АОЕ и СОF — также вертикальные.
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла.
Пусть / 1 = 7/8 d (черт. 76). Смежный с ним / 2 будет равен 2d — 7/8 d , т. е. 11/8 d.
Таким же образом можно вычислить, чему равны /
3 и /
4.
/
3 = 2d — 11/8 d = 7/8 d; /
4 = 2d — 7/8 d = 11/8 d (черт. 77).
Мы видим, что / 1 = / 3 и / 2 = / 4.
Можно решить ещё несколько таких же задач, и каждый раз будет получаться один и тот же результат: вертикальные углы равны между собой.
Однако, чтобы убедиться в том, что вертикальные углы всегда равны между собой, недостаточно рассмотреть отдельные числовые примеры, так как выводы, сделанные на основе частных примеров, иногда могут быть и ошибочными.
Убедиться в справедливости свойства вертикальных углов необходимо путём рассуждения, путём доказательства.
Доказательство можно провести следующим образом (черт. 78):
/
a + /
c = 2d;
/
b + /
c = 2d;
(так как сумма смежных углов равна 2d).
Отсюда
/ a + / c = / b + / c
(так как и левая часть этого равенства равна 2d, и правая его часть тоже равна 2d).
В это равенство входит один и тот же угол с.
Если мы от равных величин отнимем поровну, то и останется поровну. В результате получится: / a = / b, т. е. вертикальные углы равны между собой.
При рассмотрении вопроса о вертикальных углах мы сначала объяснили, какие углы называются вертикальными, т. е. дали определение вертикальных углов.
Затем мы высказали суждение (утверждение) о равенстве вертикальных углов и в справедливости этого суждения убедились путём доказательства. Такие суждения, справедливость которых надо доказывать, называются теоремами. Таким образом, в данном параграфе мы дали определение вертикальных углов, а также высказали и доказали теорему об их свойстве.
В дальнейшем при изучении геометрии нам постоянно придётся встречаться с определениями и доказательствами теорем.
3. Сумма углов, имеющих общую вершину.
На чертеже 79 /
1, /
2, /
3 и /
4 расположены по одну сторону прямой и имеют общую вершину на этой прямой. В сумме эти углы составляют развёрнутый угол, т. е.
/
1+ /
2+/
3+ /
4 = 2d.
На чертеже 80 / 1, / 2, / 3, / 4 и / 5 имеют общую вершину. В сумме эти углы составляют полный угол, т. е. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.
Упражнения.
1. Один из смежных углов равен 0,72 d. Вычислить угол, составленный биссектрисами этих смежных углов.
2. Доказать, что биссектрисы двух смежных углов образуют прямой угол.
3. Доказать, что если два угла равны, то равны и их смежные углы.
4. Сколько пар смежных углов на чертеже 81?
5. Может ли пара смежных углов состоять из двух острых углов? из двух тупых углов? из прямого и тупого угла? из прямого и острого угла?
6. Если один из смежных углов прямой, то что можно сказать о величине смежного с ним угла?
7. Если при пересечении двух прямых линий один угол прямой, то что можно сказать о величине остальных трёх углов?