ГЛАВА II.

ТРЕУГОЛЬНИКИ.

§ 18. СВОЙСТВА РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА.

Построим равнобедренный треугольник ABC и проведём в нём биссектрису угла, заключённого между равными сторонами АВ и СВ. Равнобедренный треугольник разбился на два треугольника ABD и CBD (черт. 137).

Перегнём мысленно плоскость чертежа по биссектрисе BD так, чтобы правая часть её совпала с левой. Тогда сторона ВС пойдёт по стороне ВА, так как / l = / 2, и точка С совпадёт с точкой А, так как ВС = ВА.

Следовательно, при перегибании чертежа по BD треугольник BDC совместился с треугольником BDA, т. е. биссектриса BD является осью симметрии треугольника ABC.

Отрезки CD и DA совместились, т. е. сторона АС в точке D разделилась пополам.

Следовательно, BD будет не только биссектрисой треугольника ABC, но и его медианой.

Углы BDC и BDA совместились, следовательно, они равны. Но в то же время они смежные, поэтому каждый из них равен прямому углу. Значит, BD является высотой треугольника.

Углы С и А совместились, следовательно, они равны.

Отсюда: 1. Биссектриса угла при вершине равнобедренного   треугольника является  его осью симметрии.

2. Биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника в то же время является его медианой и высотой.

Так как из вершины треугольника можно провести только одну биссектрису, одну медиану и одну высоту, то медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является и биссектрисой, и высотой, точно так же и высота является и биссектрисой, и медианой.

3. Углы при основании равнобедренного треугольника равны между собой.

4. В равностороннем треугольнике все внутренние углы равны между собой.