ГЛАВА II.

ТРЕУГОЛЬНИКИ.

§ 22. ПОСТРОЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА
ПО ТРЁМ ДАННЫМ ЕГО СТОРОНАМ.
ТРЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ.

Пусть требуется построить треугольник по трём его сторонам, например,
сторона а = 30 мм, сторона с = 40 мм и сторона b = 42 мм. (Заданные размеры должны удовлетворять условию: сумма двух любых сторон треугольника больше третьей стороны.)

Сначала на произвольной прямой построим отрезок АС, равный данному отрезку b, т. е. 42 мм; мы сразу получим две вершины искомого треугольника — А и С (черт. 145).

Черт.145

Так как длина второй и третьей сторон соответственно равна отрезкам с и а (в данном случае 40 мм и 30 мм), то третья вершина треугольника должна находиться как на дуге, описанной из центра А радиусом, равным 40 мм, так и на дуге, описанной из центра С радиусом, равным 30 мм. Следовательно, третьей вершиной треугольника будет точка пересечения этих дуг. Обозначив эту точку буквой В и соединив её отрезками с точками А и С, получим искомый треугольник ABC.

По тем же данным построим второй треугольник — /\ А'В'С' и докажем,
что /\ АВС = /\ А'В'С'. Для этого приложим треугольник А'В'С' к треугольнику ABC так, чтобы их равные стороны А'С' и AС совместились (черт. 145), причём точка А' совпала бы с точкой А, точка С — с точкой С. Тогда треугольник А'В'С' примет положение
АВ"С. Сторона АВ будет равна стороне АВ" и сторона ВС — стороне В"С.

Соединив отрезком прямой точки В и В", получим два равнобедренных треугольника ВАВ" и ВСВ", у которых /  1 = /  2, а /  3 = /  4, откуда /  B = /  B".
Следовательно, /\ АВС = /\ АВ"С, но тогда и /\ АВС = /\ А'В'С'.

По этим же данным можно построить сколько угодно   треугольников, и все они будут равны между собой.

Мы доказали, что если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны между собой.

Назовём это третьим признаком равенства треугольников.

Замечания. 1. Во всех трёх признаках равенства треугольников в число трёх данных элементов входит хотя бы одна сторона треугольника.

2. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы и, обратно, против равных углов лежат равные стороны.