ГЛАВА II.

ТРЕУГОЛЬНИКИ.

§ 29. ПОНЯТИЕ О ТЕОРЕМЕ И АКСИОМЕ.

1. Понятие о теореме.

В предыдущих параграфах путём рассуждений мы установили, или, как говорят,  доказали, ряд  свойств   различных геометрических фигур. Например:

Сумма двух смежных углов равна 2d (§ 11).
 Вертикальные углы равны между собой (§ 11).
 Если в одном и том же круге центральные углы равны, то равны и соответствующие им дуги (§ 13).

Такие   математические  предложения, в правильности   которых мы убеждаемся путём   рассуждений   (доказательств),   мы называли теоремами. Каждая теорема состоит из двух частей: из условия и заключения. Условие обыкновенно начинается со слова «если», а заключение — со слова «то». Условие — то, что дано; заключение — то, что надо доказать. Например:

Условие

Заключение

1. Если два угла смежные,

2. Если два угла вертикальные,
 

3. Если в одном и том же круге центральные углы равны,

4. Если каждое слагаемое делится на какое-нибудь число,

5. Если сумма цифр какого-нибудь числа делится на 9,

 то сумма их равна 2d.

 то они равны между собой.
 

 то равны и соответствующие им дуги.


 то и сумма этих слагаемых разделится на это число.

 то и само это число разделится на 9.
 

Последние две теоремы (4-я и 5-я) известны нам из арифметики. Значит, и там мы уже встречались с теоремами.

2. Теоремы прямая и обратная.

Если в теореме условие сделать заключением, а заключение — условием, то первая теорема будет называться прямой, а вторая —обратной, а обе теоремы вместе — взаимно обратными.

Если верна прямая теорема, то это ещё не значит, что верна и обратная ей теорема.

Прямая теорема

Обратная теорема

1. Если в одном и том же круге центральные углы равны, то равны и соответствующие им дуги. 

2. Если сумма цифр какого-нибудь числа делится на 9, то и само это число разделится на 9.

3. Если два угла - смежные, то сумма их равна 2d.

4. Если два угла вертикальные, то они равны между собой.

5. Если каждое слагаемое делится на какое-нибудь число, то и сумма этих слагаемых делится на это число.

  Если в одном и том же круге дуги равны, то равны и соответствующие им центральные углы

  Если число делится на 9, то и сумма цифр этого числа делится на 9. 
 

  Если сумма двух углов равна 2d, то они смежные (?)

  Если два угла равны между собой, то они вертикальные (?)

  Если сумма нескольких слагаемых делится на какое-нибудь число, то и каждое слагаемое делится на это число (?)

В приведённых примерах для 1-й и 2-й теорем обратные теоремы верны Что же касается теорем 3-й, 4-й и 5-й, то здесь обратные теоремы  не верны.

В самом деле, можно иметь два угла, сумма которых равна 2d, но они могут быть не смежными.

Если есть два равных угла, то это не значит ещё, что они обязательно вертикальные.

Сумма двух или нескольких слагаемых может делиться, например, на 10, но это не значит, что каждое из этих слагаемых делится на 10.

Например, сумма 71 и 19 делится на 10 (90 : 10 = 9), но ни 71, ни 19 на 10 не делятся.

Отсюда следует сделать такой вывод: если доказана справедливость какой-нибудь теоремы, то это ещё не значит, что справедлива и обратная теорема. Она также нуждается в доказательстве, как и прямая теорема.

3. Понятие об аксиоме.

Некоторые свойства геометрических фигур принимают без доказательств. Например:

Через всякие две точки можно провести прямую линию и притом только одну (§ 3).

Отрезок прямой короче всякой другой линии, соединяющей его концы (§ 6).

Такие математические предложения, которые принимаются без доказательств, называются аксиомами.

Упражнение.

Сформулировать две теоремы, обратные теоремам:

1) «Если треугольник равнобедренный, то биссектриса угла при вершине совпадает с его высотой»;

2) «Если треугольник равнобедренный, то медиана, проведённая к основанию, совпадает с его высотой», и доказать их справедливость.

Используются технологии uCoz