ГЛАВА II.

ТРЕУГОЛЬНИКИ.

§ 32. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ОКРУЖНОСТИ,
ПЕРПЕНДИКУЛЯРА К ОТРЕЗКУ, ПРОВЕДЁННОМУ ЧЕРЕЗ ЕГО СЕРЕДИНУ,
И БИССЕКТРИСЫ УГЛА.

1.Окружность.

Все точки окружности обладают одним и тем же свойством, а именно: все они находятся на одном и том же расстоянии от центра, равном радиусу данной окружности.

Любая точка плоскости, не лежащая на данной окружности, уже этим свойством не обладает. Расстояние от центра до всякой гочки, лежащей внутри данной окружности, меньше радиуса этой окружности (черт. 177):

ОА < R.

Расстояние от центра до всякой точки, лежащей вне этой окружности, больше радиуса:

ОВ > R.

Фигура (например, линия), все точки которой обладают одним и тем же свойством, а ни одна из других точек плоскости ним свойством не обладает, называется  геометрическим местом точек, обладающих данным свойством.

Окружность можно теперь определить так: геометрическое место точек плоскости, одинаково удалённых от одной точки этой плоскости, называется окружностью.

2. Перпендикуляр к отрезку, проведённый через его середину.

В § 27 было доказано, что всякая точка, лежащая на перпендикуляре к отрезку, проведённому через его середину, одинаково удалена от концов этого отрезка (см. черт. 159); всякая же точка плоскости, не находящаяся на этом перпендикуляре, этим свойством не обладает (см. черт. 160).

Поэтому можно сказать, что перпендикуляр, проведённый к отрезку   через его  средину, есть геометрическое место точек, каждая из которых одинаково удалена от концов этого отрезка.

3. Биссектриса угла.

Все точки биссектрисы угла обладают одним общим свойством: каждая из них находится на одинаковом расстоянии от сторон этого угла.

Пусть луч АО является биссектрисой угла ВАС (черт. 178). Возьмем какую-нибудь произвольную точку Е на биссектрисе АО и опустим из нее на стороны угла перпендикуляры: ЕN_|_АС и ЕМ_|_AB. Мы получим два треугольника АЕМ и АЕN.

Треугольники эти прямоугольные по построению, сторона АЕ является общей,
а  / 1 = / 2 по условию.

Отсюда следует, что /\ АМЕ = /\ АNЕ (§ 27, п. 3) и ЕМ = ЕN, т. е. точка Е одинаково удалена от сторон угла ВАС. Так как точка Е была взята на биссектрисе произвольно, то можно утверждать, что и всякая точка биссектрисы АО одинаково удалена от сторон
/ ВАС.

Всякая же точка О, находящаяся не на биссектрисе АF (черт. 179), неодинаково удалена от сторон этого угла.

Опустим из точки О перпендикуляры ОN и ОЕ на АВ и АС и докажем, что ОN не равняется ОЕ.

Из точки К пересечения биссектрисы АF и перпендикуляра ОЕ опустим перпендикуляр КМ на АВ. По доказанному ранее КМ =  КЕ, кроме того, МК + КO > МО, тогда и
ЕК + КО > МО, т. е. ОЕ > ОМ. Но МО > NO, так как МО — гипотенуза, а NO — катет в треугольнике МОN. Поэтому ОЕ и подавно больше  ОN.

Следовательно, всякая точка, не лежащая на биссектрисе угла, неодинаково удалена от сторон этого угла.

Биссектриса угла есть геометрическое место точек, каждая из которых одинаково удалена от сторон этого угла.

Она является осью симметрии  угла.

4. Задача.

Построить биссектрису угла, т. е. разделить угол пополам.

Дан угол АBС, требуется разделить его пополам.

На сторонах данного угла АBС (черт. 180) от его вершины B отложим равные отрезки ВМ и BN.
Из точек М и N одним и тем же радиусом описываем дуги.
Точку К пересечения этих дуг соединим с точкой B. Луч ВК будет биссектрисой данного угла АBС.

Чтобы доказать это, соединим точку К с точками М и N и сравним треугольники ВМК и BNК:

BM=BN ; MK=NK -   по постpoению
 ВК - общая сторона.                            

Следовательно, /\ ВМК = /\ ВNK

Отсюда / МВК =/ NВК, так как они лежат против равных сторон в двух равных треугольниках, т. е.ВК служит биссектрисой угла АBС.

Упражнения.

1.Вырезать из плотной бумаги квадрат. Разрезать его на три треугольника, как показано на чертеже 181, и из полученных треугольников составить фигуры, изображённые на чертежах а, б, в, г, д, е, ж, з, и, к, л, м.

2. Доказать, что высоты, проведённые из вершин углов при основании равнобедренного треугольника на его боковые стороны, равны.

3. Доказать, что медианы, проведённые к равным сторонам равнобедренного треугольника , равны.