ГЛАВА III.
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ

§ 40. УГЛЫ С СООТВЕТСТВЕННО ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ
И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫМИ СТОРОНАМИ.

1. Углы с соответственно параллельными сторонами.

Возьмём на плоскости две точки С и О и из этих точек проведём две пары лучей
СА || ОМ и СВ || ОN так, чтобы углы АСВ и МОN были или оба острые (черт. 211), или оба тупые (черт. 212).

Углы АСВ и МОN— углы с соответственно параллельными cтронами. Докажем, что эти углы равны между собой.

Пусть СВ пересекает ОМ в точке D. / АСВ = / МDВ, как соответственные углы при параллельных АС и МО и секущей СВ.

/ МDВ = / МОN, как соответственные углы при параллельных СВ и ОN и секущей МО, но тогда и / АСВ = / МОN.

Следовательно, углы с соответственно параллельными сторонами равны, если они оба острые или оба тупые.

Построим два острых угла АСВ и МОN с соответственно параллельными сторонами (черт. 213): СА || МО и СВ || ОN, и продолжим за вершину О стороны угла МОN.

При вершине О  образовались два гупых угла ЕОМ и FОN (так как смежный с ними угол МОN по построению острый).

Каждый из них в сумме с углом МОN составляет 2d, а так как / МОN = / АСВ,
то / АСВ+ / МОЕ = 2d  и  / АСВ+ / FОN = 2d.

Следовательно , углы с соответственно параллельными сторонами в сумме составляют 2d, если один из них острый, а другой тупой.

2. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами.

Построим произвольный острый угол АВС. Проведём через вершину угла лучи, перпендикулярные к его сторонам, так, чтобы они образовали острый угол.

BO_|_ ВС и ВК _|_ АВ (черт. 214). Мы получим новый угол OBK.
Стороны углов AВС и ОВК взаимно перпендикулярны.

/ АВС = d — / СВК;
 / ОВК = d — / СВК.

Отсюда следует, что / АBС = / ОВК.

Построим произвольный тупой угол АОВ и через его вершину проведём лучи, перпендикулярные к его сторонам, так, чтобы они образовали тупой угол.
ОК_|_ОА и ОС_|_ОВ (черт. 215), угол КОС — тупой. Стороны углов АОВ и КОС взаимно перпендикулярны, поэтому

/ АОВ = d + / КОВ;
/ КОС = d + / КОВ.

Отсюда следует, что / АОВ = / КОС.

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами равны между собой, если они оба острые или оба тупые.

Построим произвольный острый угол АОВ и проведём через его вершину перпендикуляры к его сторонам так, чтобы они образовали острый угол (черт. 216).
Получим: / КОМ = / АОВ. Продолжим сторону ОК за вершину О. Стороны угла ЕОМ перпендикулярны сторонам угла АОВ. При этом / ЕОМ — тупой, так как смежный с ним / МОК — острый. / КОМ + / ЕОМ = 2d (как углы смежные). Но / КОМ по ранее доказанному равен / АОВ. Следовательно, и / АОВ + / ЕОМ = 2d.

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами в сумме составляют 2d, если один из них острый, а другой тупой.

Мы рассматривали углы, составленные взаимно перпендикулярными сторонами, когда они имели общую вершину. Выведенные нами свойства будут справедливы и в том случае, когда углы не будут иметь общей вершины.

Построим произвольный острый угол АОВ и через какую-нибудь точку С (черт. 217) проведём лучи СЕ __|_ОA и СК _|_ ОВ так, чтобы угол КСЕ был тоже острый.

Углы АОВ к КСЕ составлены взаимно перпендикулярными сторонами. Докажем, что они равны между собой. Для этого через точку О (вершину / АОВ) проведём ОК'||СК и ОЕ' || СЕ. / КСЕ = / КОЕ', так как они составлены взаимно параллельными сторонами и оба острые. Но / К'ОЕ' = / АОВ по доказанному. Следовательно, / АОВ = / КСЕ.

Если продолжим сторону СЕ за вершину угла, мы получим / МСК, смежный с / КСЕ.
/ МСК + / КСЕ = 2d, но / КСЕ = / АОВ, Поэтому / АОВ + / МСК = 2d.