ГЛАВА IV.

ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ.

§ 45 ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ.

В § 17 были рассмотрены фигуры, симметричные относительно прямой, которая называлась осью симметрии.

В геометрии рассматривается и другой вид симметрии, которая называется центральной симметрией или симметрией относительно точки, называемой центром симметрии.

1. Центрально симметричные точки.

Если возьмём какую-нибудь точку О, проведём через неё прямую и отложим на этой прямой по разные стороны от точки  O равные отрезки ОВ и ОС (черт. 231), то получим две точки В и С, центрально симметричные относительно точки  О. Точка О называется центром симметрии этих точек.

Центрально симметричными относительно центра О называются две точки, которые лежат на одной прямой, проходящей через центр О, на равных расстояниях от центра О.

Если повернуть отрезок ОС вокруг точки О на 180°, то точки С и В совпадут. Две фигуры называются центрально симметричными относительно центра О, если при повороте одной из них вокруг этого центра на 180° они совместятся всеми своими точками.

2. Центрально симметричные отрезки.

Возьмём две пары центрально симметричных точек относительно точки О (черт. 232): ОВ = ОВ' и ОС = ОС'. Соединим отрезками точки В и С, В' и С'. Получим отрезки ВС и В'С', концы которых центрально симметричны  относительно точки О.

Если повернём чертёж вокруг точки О на 180°, то точки В' и С' займут соответственно положение точек В и С. Отрезки В'С' и ВС совместятся, они центрально симметричны. Центрально симметричные отрезки равны.

3. Центрально симметричные треугольники.

Возьмём три пары центрально симметричных точек относительно какой-нибудь точки О (черт. 233):

ОА = ОА', ОВ = ОВ' и ОС = ОС.

Соединив точку А с точками В и С, а  точку А' с точками В' и С', получим два треугольника. Эти треугольники центрально симметричны относительно точки О, являющейся центром симметрии.

При повороте чертежа вокруг точки О на 180° точки A', С' и В' займут соответственно положение точек А, С и В, т. е. /\ A'С'В' и /\ AСВ совместятся. Центрально  симметричные   треугольники равны. Точно так же равны и любые симметричные фигуры.

4. Симметрия параллелограмма.

Большое число фигур обладает тем свойством, что при повороте плоскости чертежа на 180° вокруг некоторой точки новое положение фигуры совпадает с первоначальным. Такие фигуры называются центрально симметричными. Параллелограмм принадлежит к числу таких фигур, он центрально симметричен относительно точки пересечения его диагоналей (черт. 234).

В самом деле, так как ОС = ОВ и ОА = OD, то точки С и В, а также A и D симметричны относительно центра О. Если параллелограмм повернуть на 180° вокруг точки пересечения его диагоналей, то новое положение параллелограмма совпадёт с первоначальным.

_____________________________________________________________

Осевую и центральную симметрию  используют практически  все графические программы  при горизонтальном и вертикальном отображении изображений (осевая симметрия) и повороте их на 180° (центральная симметрия).

1. Постройте в любой графической программе (Paint, PhotoShop и т.п.) параллелограмм, воспользовавшись методом центральной симметрии.

2. Скопируйте рисунок в программу Paint и найдите центр симметрии  треугольников.