ГЛАВА IV.

ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ.

§ 47. СВОЙСТВО ОТРЕЗКОВ, ОТСЕКАЕМЫХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПРЯМЫМИ
НА СТОРОНАХ УГЛА.

Теорема. Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие другую сторону угла, то и на этой стороне угла отложатся равные между собой отрезки.

Пусть на стороне АВ угла АВN отложены равные отрезки ВМ = МК = КС (черт. 248) и через точки деления М, К и С проведены параллельные прямые, пересекающие сторону ВN того же угла.

На этой стороне образовались три отрезка: ВМ', М'К' и К'С'. Требуется доказать, что
ВМ' = М'К' = К'С'.

Для доказательства через точки М' и К' проведём прямые, параллельные АВ. Мы получим треугольники ВММ', М'ЕК' и К'РС'. Сравним эти треугольники.

Сначала сравним треугольники МВМ' и М'ЕК'. В этих треугольниках имеем:
/ 1 = / 2, как соответственные углы при параллельных ВА и М'Е и секущей ВN;
/ 3 = / 4, как острые углы¹ с соответственно параллельными сторонами (АВ||М'Е и
ММ' || КК').
ВМ = МК по построению;
МК = М'Е, как противоположные стороны параллелограмма.
------------------------------------------------------------------------
¹Углы 1-й и 4-й могут оказаться оба тупыми, но и в этом случае они останутся равными, а потому доказательство теоремы не изменится.

Следовательно, ВМ = М'Е. Таким образом, /\ ВММ' = /\ М'ЕК' (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Отсюда следует,  что    ВМ' = М'К' .   

Так же можно доказать, что ВМ' = К'С', т. е. ВМ' = М'К' = К'С'. При доказательстве теоремы мы откладывание отрезков начали от вершины угла, но теорема справедлива и для того случая, когда откладывание отрезков будет начато не от вершины угла, а от любой точки его стороны. (Докажите это самостоятельно.)

В этом случае вершину угла на чертеже можно не отмечать (черт. 249).

Теорема справедлива и для случая, когда прямые КО и МР параллельны.

Задача. Разделить данный отрезок на п равных частей.

Пусть отрезок АВ (черт. 250) нужно разделить на 5 равных частей. Для этого из точки. А под каким-нибудь углом к отрезку АВ проведём луч и от вершины А отложим на нём последовательно 5 равных отрезков. Конец последнего отрезка, точку С₅, соединим отрезком прямой с точкой В и через точки деления С₁, С₂, С₃, С₄ проведём прямые, параллельные ВС₁. Эти прямые разделят данный отрезок на 5 равных частей.

Подобным образом всякий отрезок можно разделить на любое число равных частей.