ГЛАВА V.

ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР.

§ 52. ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНИКА.

Пусть нужно определить площадь прямоугольника, одна сторона которого равна, например, 5 см, а сторона, смежная с ней, равна 3 см, или, как принято говорить, основание данного прямоугольника равно 5 см, высота — 3 см (черт. 259, а).

Если отложим на оснований и высоте прямоугольника от вершины А отрезки, равные 1 см, и через полученные точки деления проведём прямые, параллельные сторонам прямоугольника (черт. 259, б), то прямоугольник окажется покрытым сеткой квадратов (как палеткой). Вдоль основания АD уложится 5 квадратов, т. е. столько, сколько сантиметров составляет длина основания прямоугольника.

Таких полос получится 3, т. е. столько, сколько сантиметров составляет высота прямоугольника. Поэтому вся площадь прямоугольника составит

5 кв.см • 3 = 15 кв.см.

Рассмотрим теперь случай, когда длины сторон прямоугольника выражены дробными числами. Например, пусть основание прямоугольника а = 5,4 см, а высота h = 1,6 см.

Чтобы определить площадь прямоугольника, выразим длины его сторон в миллиметрах:

а = 54 мм, h = 16 мм.

Тогда площадь прямоугольника, выраженная в квадратных миллиметрах, будет равна произведению чисел 54 и 16, т. е.

S = (54 • 16) кв.мм.

Чтобы получить ответ в квадратных сантиметрах, надо число, выражающее площадь прямоугольника в квадратных миллиметрах, разделить на число, показывающее, сколько квадратных миллиметров составляют один квадратный сантиметр, т. е. на
(10 • 10) кв. мм, так как квадратный сантиметр — это прямоугольник, длина и ширина которого содержат по 10 мм. Получим:

Таким образом, чтобы вычислить площадь прямоугольника, надо число, выражающее длину основания прямоугольника, умножить на число, выражающее длину его высоты в мерах того же наименования. Произведение этих чисел и выразит площадь прямоугольника в квадратных мерах того же наименования.

Для краткости говорят: площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту.

Записывается это так: S = а • h, где S — площадь прямоугольника, а — его основание, h — высота, выраженные в мерах одного наименования.

В тех случаях, когда основание и высота прямоугольника выражены в мерах различного наименования, необходимо предварительно выразить их в мерах одного наименования. Например, если основание прямоугольника равно 1,15 м, а высота равна 24 см, то нужно или 1,15 м выразить в сантиметрах, или 24 см выразить в долях метра. Получим: или 115 см  х  24 см = 2760 кв.см, или 1,15 м х 0,24 м = 0,276 кв.м.
2760 кв. см записывается ещё и так: 2760 см², а
0,276 кв.м можно записать так: 0,276 м².

Можно и другим способом проверить справедливость формулы площади прямоугольника, т.е. формулы  S = аh, для случаев, когда одно или оба измерения прямоугольника выражаются дробными числами. На чертежах 260 а, б, в изображены такие прямоугольники.

Чтобы определить площадь любого прямоугольника, например, в квадратных сантиметрах, достаточно подсчитать, сколько квадратных сантиметров полностью покрывают данный прямоугольник.

Такой подсчёт покажет, что
на чертеже 260а  площадь прямоугольника равна 9 кв.см;
на чертеже 260б площадь прямоугольника равна 15 кв.см;
на чертеже 260в площадь  прямоугольника равна 3,6 кв. см.
Если вычислим площадь каждого из данных прямоугольников по формуле S = аh, то получим точно такие же ответы. Значит, формула S = аh для данных прямоугольников справедлива.

Подобным образом можно убедиться в справедливости формулы S = аh для любого  прямоугольника.

Доказать справедливость формул S = аh для прямоугольника, у которого
а = 3¹/₃ см и h = 2,5 см.

Упражнения.

1. Вычислить площадь прямоугольника, длину или высоту по следующим данным:

2. Вычислить площадь стен вашего класса (вашей комнаты) и составить формулу, обозначив длину класса через а, ширину — через b и высоту — через с.

3. Вычислить  площадь фигуры,   изображённой  на  чертеже 261,  разбив её на прямоугольники и принимая 1 мм за 1 м.

4. Вычислить площадь школьного двора (школьного огорода).