ГЛАВА V.

ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР.

§ 59. ПЛОЩАДЬ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА.

Пусть требуется найти площадь параллелограмма АВСD (черт. 272, а). Примем сторону АВ за основание параллелограмма и из вершин D и С проведём высоты DМ и СK. Площадь полученного прямоугольника МKСD равна произведению МК на DМ.

Tреутольники АDМ и ВСК равны, так как они имеют по равной гипотенузе и по равному катету: АD = ВС и DМ = СK.

Параллелограмм АDСВ состоит из трапеции МDСВ и треугольника АDМ, прямоугольник МDСК состоит из той же трапеции МDСВ и треугольника ВСК, который равен треугольнику АDМ. Следовательно, площадь  параллелограмма равна площади прямоугольника. Отсюда площадь параллелограмма равна также произведению МК на DМ. Но МК = АВ (МК = DС = АВ), поэтому площадь параллелограмма будет равна произведению АВ на DМ, т. е. площадь параллелограмма равняется произведению его основания на высоту.

S_{параллелограмма} = а • h, где а — основание параллелограмма и h — его высота.

Несколько иное рассуждение придётся применить для вывода формулы площади параллелограмма, изображённого на чертеже 272, б, где АВСD — данный параллелограмм, а ЕFСD — вспомогательный прямоугольник.

S_ABCD = S_AFCD — S_BCF,
S_EFCD = S_AFCD — S_ADE, но
/\ ВСF =  /\ АDЕ, следовательно,
S_ABCD = S_EFCD = СD • СF, т. е.
S_ABCD = а • h.

Упражнения.

1. Доказать, что если на отрезке AB, как на основании, построить несколько параллелограммов, второе основание которых будет лежать на прямой MK, параллельной AB, то все эти параллелограммы будут равновелики (черт. 273).

2. Вычислить площадь параллелограмма по следующим данным:

3. Площадь параллелограмма равна 128 кв.м ; основание его равно 16 м. Вычислить длину высоты параллелограмма.

4. Площадь параллелограмма равна 720 кв.см; высота его равна 12,5 см. Вычислить длину основания параллелограмма.