ГЛАВА VI.

ПРЯМАЯ ПРИЗМА. ПОВЕРХНОСТЬ И ОБЪЁМ ПРЯМОЙ ПРИЗМЫ.

§ 67. ОБЪЁМ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА.

1. Вывод формулы объёма прямоугольного параллелепипеда,
измерения которого выражены целыми числами.

Пусть нам нужно вычислить объём прямоугольного параллелепипеда, длина основания которого равна 20 см, ширина — 12 см и высота параллелепипеда—5 см (черт. 305).

Площадь основания этого   параллелепипеда     будет   равна 20 • 12 = 240 (кв. см). Значит, на его основании в один слой можно уложить 240 кубических сантиметров. Всего таких слоев будет пять. Объём данного параллелепипеда будет равен
240 • 5 = 1200 (куб. см).

Если длину основания прямоугольного параллелепипеда обозначим через а, ширину его — через b и высоту параллелепипеда— через с, то получим формулу:

V = аbс, где V — объём прямоугольного параллелепипеда.

Произведение аb выражает площадь основания прямоугольного параллелепипеда,
а  с — его высоту. Следовательно, в этом случае объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту.

Примечание. Длина, ширина и высота параллелепипеда должны быть измерены одной и той же мерой.

2. Вывод формулы объёма прямоугольного параллелепипеда,
измерения которого выражены дробными числами.

Пусть нужно вычислить объём прямоугольного параллелепипеда, у которого все или некоторые измерения выражены дробными числами. Например, длина равна 18,5 м, ширина — 12,4 м, высота — 10,4 м. Выразим эти измерения прямоугольного параллелепипеда в дециметрах; тогда длина данного параллелепипеда будет равна 185 дм, ширина — 124 дм, высота — 104 дм, т. е. измерения его выразятся целыми числами. В таком случае объём  прямоугольного параллелепипеда, как доказано, вычисляется по формуле V = (185 • 124 • 104) куб. дм.

Чтобы объём выразить в кубических метрах, надо число, выражающее объём в кубических дециметрах, разделить на число, показывающее, сколько кубических дециметров составляют 1 кубический метр, т. е. на 10³.

Получим:

Таким образом, объём прямоугольного параллелепипеда выражается формулой
V = аbс и в том случае, когда длина а, ширина b и высота с выражаются дробными числами в единицах одного и того же наименования.

Полученную формулу можно также записать в виде: V = (аb)с; аb выражает площадь основания параллелепипеда, поэтому полученная формула показывает, что объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту.