ГЛАВА VIII.

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ. ПОДОБИЕ ФИГУР.

§ 83. ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ.

Из арифметики известно, что равенство двух отношений называется пропорцией. Например: ¹⁶/₄ = ²⁰/₅ ;  ²/₃ = ⁴/₆  To же самое имеем и в геометрии: если даны две пары отрезков, отношения которых равны, то можно составить пропорцию.

Eсли ^a/_b = ⁴/₃  и ^c/_d = ⁴/₃  (черт. 351), то получим пропорцию ^a/_b = ^c/_d  ;   
отрезки  а, b, c, d  называются пропорциональными.

Отношение ^a/_b называется, как и в арифметике, первым отношением, ^c/_d - вторым отношением; а и d называются крайними членами пропорции, b и с — средними членами.

В пропорции можно поменять местами отношения; можно переставить крайние члены, средние члены; можно переставить те и другие одновременно.

Поскольку в пропорции  ^a/_b = ^c/_d   под  буквами  подразумевают числа, выражающие длины отрезков, то произведение крайних членов её равно произведению средних членов. Отсюда, зная три члена пропорции, можно найти неизвестный четвёртый её член. Так, в пропорции ^a/_x = ^c/_d   x =  ^{a • d}/_c

Отметим ещё некоторые свойства пропорций, которыми придётся в дальнейшем пользоваться при доказательстве некоторых теорем и при решении задач.

а) Если три члена одной пропорции соответственно равны трём членам другой пропорции, то равны и четвёртые члены этих пропорций.

Eсли  ^a/_b = ^c/_x  и  ^a/_b = ^c/_y  ,то х = у. В самом деле, x =  ^{b • c}/_a , у = ^{b • c}/_a , т. е. и х и у равны одному и тому же числу  ^{b • c}/_a .

б) Если в пропорции равны предыдущие члены, то равны и последующие, т. е. если ^a/_x = ^a/_y , то х = у.

Чтобы убедиться в этом, переставим средние члены в этой пропорции.
Получим: ^a/_a = ^x/_y. Но ^a/_a = 1. Следовательно, и ^x/_y = 1.

А это возможно лишь в том случае, когда числитель и знаменатель дроби равны, т. е.
х = у.

в) Если в пропорции равны последующие члены, то равны и предыдущие, т. е. если ^x/_a = ^y/_a ,  то х = у.

В справедливости этого свойства предлагается вам убедиться самостоятельно. Для этого проведите рассуждение, аналогичное предыдущему.

Упражнения.

1) На чертеже 352 изображены четыре пропорциональных отрезка,
причём ^AB/_СD= ^EF/_MN   Определить длину отрезка МN.

2) На чертеже 353 изображены четыре пропорциональных отрезка, причём  ^a/_x = ^b/_y и а = b.  Чему равен у, если х = 28 мм?