ГЛАВА VIII.

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ. ПОДОБИЕ ФИГУР.

§ 87. ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ.

1. Определение подобных треугольников.

Рассмотрим два чертёжных прямоугольных треугольника с острыми углами в 60° и 30° (черт. 364).

Стороны второго треугольника по сравнению с первым уменьшены в два раза:

^AB/_A'B' = 2;   ^AC/_A'C' = 2;   ^BC/_B'C' = 2.

У этих треугольников углы попарно равны. Стороны, лежащие против равных углов, пропорциональны:

^AB/_A'B' = ^AC/_A'C' = ^BC/_B'C' =  2.

Такие треугольники называют подобными. Стороны, лежащие против равных углов, называются сходственными.
Таким  образом, подобными называются треугольники, у которых yглы попарно равны, а сходственные стороны пропорциональны.
Подобие треугольников записывается так:   /\  АВС  /\  А'В'С'.

Отношение сходственных сторон подобных фигур называется коэффициентом подобия. В данном случае коэффициентом подобия треугольников АBС и А'В'С' будет число 2.

Если же взять отношения  ^A'B'/_AB = ^A'C'/_AC = ^B'C'/_BC , то   коэффициент подобия будет равен ¹/₂.

2. Свойство прямой, параллельной какой-либо стороне треугольника.

Проведём в треугольнике АBС прямую DЕ параллельно стороне АС (черт. 365).

Получим треугольник DВЕ. Докажем, что   /\  АВС   /\  DВЕ.
Вследствие параллельности сторон DЕ и АС  /   1 = /  2 и /  3 = /  4. Угол В является общим для этих треугольников. Следовательно, углы этих треугольников попарно равны.

Так как DЕ || АС, то  ^AB/_DB = ^BC/_BE.

Проведём через точку Е прямую, параллельную стороне АВ (черт. 366).

Получим: ^BC/_BE = ^AC/_AK , но АК = DЕ.

Поэтому

^BC/_BE =  ^AC/_DE

Сопоставляя полученную пропорцию с пропорцией ^AB/_DB = ^BC/_BE получим:

^AB/_DB = ^BC/_BE =  ^AC/_DE  ,  т.е. 

сходственные стороны треугольников AВС и DВЕ пропорциональны. Раньше было доказано, что углы этих треугольников попарно равны.
 Значит, /\  АВС   /\  DВЕ.

Следовательно, прямая, проведённая параллельно какой-либо стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.