ГЛАВА VIII.
ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ. ПОДОБИЕ ФИГУР.
§ 91. ОТНОШЕНИЕ ПЕРИМЕТРОВ ПОДОБНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ.
Сначала рассмотрим свойство ряда равных отношений. Пусть имеем, например, отношения: 2/1 = 4/2 = 6/3 = 8/4 =2.
Найдем сумму предыдущих членов этих отношений, затем — сумму их последующих членов и найдём отношение полученных сумм, получим:
.
То же самое мы получим, если возьмём ряд каких-нибудь других отношений, например: 2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12 = 10/15 = 2/3 Найдем сумму предыдущих членов этих отношений и сумму последующих, а затем найдём отношение этих сумм, получим:
В том и другом случае сумма предыдущих членов ряда равных отношений относится к сумме последующих членов этого же ряда, как предыдущий член любого из этих отношений относится к своему последующему.
Мы вывели это свойство, рассмотрев ряд числовых примеров. Оно может быть выведено строго и в общем виде.
Теперь рассмотрим отношение периметров подобных многоугольников.
Пусть многоугольник ABCDE подобен многоугольнику A'B'C'D'E' (черт. 378).
Из подобия этих многоугольников следует, что
AB/A'B' = BC/B'C' = CD/C'D' = DE/D'E' = EA/E'A'
На основании выведенного нами свойства ряда равных отношений можем написать:
Сумма предыдущих членов взятых нами отношений представляет собой периметр первого многоугольника (Р), а сумма последующих членов этих отношений представляет собой периметр второго многоугольника (Р'), значит, P/P' = AB/A'B' .
Следовательно, периметры подобных многоугольников относятся как их сходственные стороны.