ГЛАВА IX.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОСТРОГО УГЛА.

§ 99. РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ.

Выведенные нами соотношения дают возможность решать прямоугольные треугольники, т. е. по некоторым данным элементам треугольника находить все остальные.
Рассмотрим несколько примеров.

1. Даны гипотенуза прямоугольного треугольника  и  один из его острых углов. Найти катеты этого треугольника и второй острый угол.

Пусть гипотенуза с = 82,0 см;  /  А = 42°  (черт.399). Вычислить длину катетов а и b и величину угла В.

Черт.399

Прежде всего определим величину / B,

/  В = 90^o — /  А = 90°— 42° = 48°.

Чтобы вычислить длину катета а, найдём по таблицам значение синуса угла в 42°.

sin 42° = 0,6691.

Так как а = с sin /  А, получим:     а = 82,0 • 0,6691  54,9 (см).

Второй катет треугольника можно вычислить различными способами.   Используя значение угла А, находим: b = с cos 42°, или b = 82,0 • 0,7431 60,9   (см).

Все неизвестные элементы треугольника ABC вычислены.

Длину катета b можно найти из равенства b = с sin /  В,   т. е. b = c sin 48°.

Пользуясь таблицами квадратов чисел, можно также вычислить катет b и на основании теоремы   Пифагора:              

2. Даны катет прямоугольного треугольника и один из его острых углов. Найти гипотенузу, второй катет этого треугольника и второй острый угол.

Пусть катет а равен 25 см, угол А равен 32°. (черт. 400)

Черт. 400

Вычислить длину гипотенузы с, длину катета b и величину угла В.
/  В = 90° —  / А =  90° — 32° = 58°;

а = c sin /  А,    откуда   ;      ; (см);

а = b tg /  А ;      ;      (см)

Все неизвестные элементы треугольника ABC  вычислены. Можно было и в данной задаче применить иные способы решения.

Например:  b = \/c²-a² \/ 47² - 25² 40 (cм).

3. Даны два катета прямоугольного треугольника, найти   его гипотенузу и величину острых углов.

Пусть катет а равен 21 см, а катет b равен 18 см (черт.401) . Вычислить длину гипотенузы с и величину углов А и В.

Черт.401

Найдём сначала (пользуясь теоремой Пифагора и таблицами квадратов чисел) длину гипотенузы с:    c = \/a²+b^{2 ;}    \/ 21² + 18² 28 (cм).

Найдём величину одного из острых углов, используя равенство

^a/_b = tg /  А ;  tg /  А = ²¹/₁₈ 1,1667

Откуда  /  А 49° (с точностью до 1°), тогда /  B 41°.

4. Даны катет и гипотенуза прямоугольного треугольника. Катет а = 52 см, гипотенуза с = 67 см. Решить треугольник (самостоятельно) .

Замечание. Для решения прямоугольных треугольников рекомендуется широко пользоваться логарифмической линейкой и различными таблицами.