ГЛАВА XI.
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ.
§110. ВЫРАЖЕНИЕ СТОРОН ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
ЧЕРЕЗ РАДИУС ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ.
С помощью тригонометрических функций можно выразить сторону любого правильного многоугольника через радиус описанной около него окружности.
Пусть АВ — сторона правильного n-угольника, вписанного в круг радиуса ОА = R (черт. 421).
Проведём апофему OD правильного многоугольника и рассмотрим прямоугольный треугольник AOD. В этом треугольнике
/ AOD = 1/2 / AOB = 1/2 • 360°/n = 180°/n
AD = AO• sin / AOD = R sin 180°/n;
но AB = 2AD и потому АВ = 2R sin 180°/n.
Длина стороны правильного n-угольника, вписанного в круг, обозначается обычно ап, поэтому полученную формулу можно записать так:
ап = 2R sin 180°/n.
Следствия: 1. Длина стороны правильного шестиугольника, вписанного в круг радиуса R, выражается формулой а6 = R, так как
а6 = 2R sin 180°/6 = 2R sin 30° = 2R1/2 = R.
2. Длина стороны правильного четырёхугольника (квадрата), вписанного в круг радиуса R, выражается формулой а4 = R √2 , так как
а4 = 2R sin 180°/4 = 2R sin 45° = 2R√2/2 = R√2
3. Длина стороны правильного треугольника, вписанного в круг радиуса R, выражается формулой а3 = R √3 , так как .
а3 = 2R sin 180°/3 = 2R sin 60° = 2R√3/2 = R√3