ГЛАВА XII.

ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ОБЪЕМЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ

§ 114. ПИРАМИДА.

1. Определения.

Пирамидой называется геометрическое тело, ограниченное многоугольником, называемым основанием пирамиды, и треугольниками с общей вершиной, которые называются боковыми гранями.

Общая вершина всех боковых граней называется вершиной пирамиды.

Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на её основание (черт. 426).

Пирамида, у которой основанием служит правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания, называется правильной. Боковые грани правильной пирамиды — равные между собой равнобедренные треугольники.

Выcота боковой грани правильной пирамиды, опущенная из вершины на сторону основания, называется апофемой пирамиды.

На чертежах 427, 428, 429 даны изображения и развёртки правильных пирамид: треугольной, четырёхугольной и шестиугольной. На чертеже   430 изображены египетские пирамиды.

Упражнения.

Сделать развёртки правильных пирамид, изображённых на чертежах 427, 428,  429,  и изготовить из них модели пирамид.

2. Площадь поверхности пирамиды.

Чтобы определить площадь боковой поверхности пирамиды, надо найти сумму площадей всех её боковых граней.

Если к площади боковой поверхности пирамиды прибавить площадь её основания, получится площадь полной поверхности пирамиды.

Для краткости говорят: боковая поверхность пирамиды и полная поверхность пирамиды, опуская слово «площадь».

Упражнения.

1. В основании правильной пирамиды — треугольник со стороной в 12 см. Апофема пирамиды — 20 см.

Вычислить:
 а)  площадь основания,
 б)   боковую  поверхность,
 в)  полную поверхность этой пирамиды.

2.  Боковые грани правильной треугольной пирамиды — равносторонние треугольники. Сторона основания равна а см.  Вычислить боковую и полную поверхность этой пирамиды (черт. 431).

3.   Решить  вторично эту задачу, расположив  грани   пирамиды  в  виде параллелограмма (черт. 432).

3. Объём пирамиды.

В старших классах средней школы доказывается, что объём пирамиды составляет ¹/₃  объёма    призмы,   имеющей   одинаковое основание с пирамидой и одну и ту же высоту (черт. 433).

Следовательно, объём пирамиды вычисляется по формуле:

V = ¹/₃S• H

где    V—объём пирамиды, S — площадь основания, H — высота пирамиды.

Для иллюстрации этой формулы рекомендуется сделать из картона прямую четырёхугольную призму и четырёхугольную пирамиду, имеющие равные основания и равные высоты. Если эту пирамиду заполнить,  например, песком и затем пересыпать этот песок в сделанную призму, то песок заполнит только ¹/₃   вместимости призмы. Чтобы заполнить призму песком, необходимо трижды пересыпать в неё песок из заполненной пирамиды (черт. 434).

Упражнения.

По указанной выше формуле решить ряд задач по данным, помещённым в   нижеследующей    таблице: