ГЛАВА XI.

ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ.

§ 31. Правильные многоугольники.

938. Найти внешние и внутренние углы правильного п-угольника, если число его сторон равно: а) трём; б) пяти; в) шести; г) восьми; д) девяти.

939. 1) Записать в общем виде величину центрального угла правильного п-угольника. Определить центральные углы правильных многоугольников при п= 6, 8, 9, 10, 12.

2) Какой правильный многоугольник имеет центральный угол, равный 30°; 12°?

940. Сколько осей симметрии имеет правильный пятиугольник; правильный шестиугольник?

941. 1) Середины сторон правильного многоугольника являются вершинами правильного многоугольника с тем же числом сторон. Доказать для случая правильного пятиугольника.

2) В правильном п-угольнике точки, делящие каждую его сторону в одном и том же отношении (при обходе контура в одном направлении), являются вершинами правильного многоугольника с тем же числом сторон. Доказать для случая правильного шестиугольника.

942. Если все стороны многоугольника, вписанного в некоторую окружность, касаются другой окружности, концентрической с первой, то этот многоугольник — правильный. Доказать.

943. В окружность радиуса 4 см вписать правильный семиугольник. Измерить сторону семиугольника и сравнить её длину с вычисленной по формуле (деление окружности выполнить приближённо).

944. Около окружности диаметра 6 см описать правильный пятиугольник. Измерить его сторону и меньшую диагональ.

945. 1) В окружность вписан многоугольник, все стороны которого равны. Равны ли углы многоугольника?

2) В окружность вписан многоугольник, у которого все углы равны. Равны ли его стороны?

946. 1) Найти угол между двумя несмежными сторонами правильного шестиугольника (черт. 256).

2) Для проверки правильности опиловки граней прутка, имеющего в сечении форму правильного восьмиугольника, проверили углы между его гранями, как это указано на чертеже 257. Чему должны быть равны эти углы?

Выражение стороны правильного многоугольника
через радиус описанной около него окружности.

947. Выразить апофемы правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника через: а) радиус описанной окружности; б) его сторону.

948. Составить формулы для выражения сторон правильного шестиугольника и треугольника через радиусы вписанных в них окружностей.

949. Доказать, что сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, делит пополам перпендикулярный ей радиус.

950. Правильный шестиугольник диагоналями, проведёнными из одной вершины, делится на четыре треугольника. Найти отношение их площадей.

951. Срезать от данного правильного треугольника углы так, чтобы образовался правильный шестиугольник.

952. Найти диаметры окружностей, описанной около правильного треугольника и вписанной в него, если разность этих диаметров равна 8 см.

953. Найти отношение диаметров окружностей, вписанной в квадрат и описанной около него.

954. Найти радиусы окружностей, описанной около правильного шестиугольника и вписанной в него, если разность этих радиусов равна 6 см.

955*. Около некоторой окружности описан и в неё вписан правильные п-угольники. Определить радиус окружности, если разность сторон п-угольников равна т.

956. Общая хорда двух пересекающихся окружностей равна а и служит для одной окружности стороной правильного вписанного треугольника, а для другой — стороной правильного вписанного шестиугольника. Определить расстояние между центрами окружностей (рассмотреть два возможных положения окружностей).

957. По данной стороне построить:
а) правильный шестиугольник; б) правильный восьмиугольник.
Какие инструменты использовались для построения?

958. По данной апофеме построить:
а) правильный треугольник;
б) квадрат;
в) правильный шестиугольник;
г) правильный восьмиугольник.
Какие инструменты использовались для построения?

959. Построить квадрат по данной его диагонали.

960. Построить правильный шестиугольник, если:
а) его большая диагональ равна 10 см;
б) его меньшая диагональ равна 8 см.

Площадь правильного многоугольника.

961. Каков должен быть наименьший диаметр круглого бревна, чтобы из него можно было изготовить брус квадратного сечения площадью 156 см²?

962. Каков должен быть наименьший диаметр круглого бревна, чтобы из него можно было изготовить брус, поперечное сечение которого представляет правильный треугольник площадью 571 см²?

963. Определить отношгние площадей равностороннего треугольника, квадрата и шестиугольника, периметры которых равны.

964. Доказать, что периметр правильного шестиугольника меньше периметра равновеликого ему квадрата.

965. Вывести формулу для нахождения площади правильного многоугольника по его стороне.

966. Вывести формулу площади правильного п-угольника, зная радиус:
а) описанной около него окружности; б) вписанной в него окружности.

967*. Площадь правильного шестиугольника, вписанного в некоторую окружность, равна ³/₄  площади правильного шестиугольника, описанного около той же окружности. Доказать.

968. Построить квадрат, равновеликий правильному шестиугольнику со стороной 5 см.

969. Площадь правильного шестиугольника равна 24 см². Найти площадь круга, описанного около этого шестиугольника.

970. В правильный шестиугольник вписана окружность, в которую вписан правильный треугольник. Определить площадь этого треугольника, если сторона шестиугольника равна а.

ОТВЕТЫ