ГЛАВА VI.

ПЛОЩАДЬ МНОГОУГОЛЬНИКА.
ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ И ОБЪЁМ ПРЯМОЙ ПРИЗМЫ.

§ 18. Площадь многоугольника.

Применение палетки.

472. Найти площади фигур, данных на чертеже 158, скопировав их на прозрачную бумагу и наложив её на квадратную сетку тетради.

Площадь прямоугольника.

473. Вычислить площадь прямоугольника, если две его стороны равны:
а) 30 см и 2,9 см; б) 34 см и 0,6 дм; в) 4 м и 1 м 4 дм.

474. Найти сторону прямоугольника, если его площадь и одна из сторон соответственно равны: а) 270 см² и 15 см; б) 142 м²и 35 м 50 см; в) 16 км² и 4000 м;
г) 0,096 км² и 300 м.

475. 1) Площадь земельного участка равна 250 арам. Чему равна площадь этого участка в квадратных метрах, в квадратных километрах, в гектарах?

2) Площадь земельного участка равна 24 га. Чему равна площадь этого участка в квадратных километрах, в квадратных метрах, в арах?

3) Площадь земельного участка равна 350 000 м². Выразить эту площадь в квадратных километрах, в арах, в гектарах.

476. Участок прямоугольной формы имеет площадь 400 га. Определить периметр участка, если: а) длина участка 10 км; б) участок имеет форму квадрата.

477. Давление воздуха равно 12 кГ/см². Определить, с какой силой давит воздух на площадку прямоугольной формы размером 200 мм х 120 мм.

478. Сопротивление разрыву некоторого сорта стали равно 55 кГ/мм². При какой нагрузке разорвётся стержень прямоугольного сечения со сторонами, равными
20 мм и 10 мм?

479. Площадь данного прямоугольника равна 400 см². Как изменится его площадь, если:

а) не изменяя его высоты, увеличить в три раза его основание;
б) не изменяя его основания, уменьшить в два раза его высоту;
в) его основание и высоту увеличить в четыре раза;
г) его основание и высоту уменьшить в три раза;
д) его основание увеличить в четыре раза, а высоту уменьшить втри раза;
е) его основание увеличить в три раза, а высоту увеличить в два раза.

480. Как изменится площадь прямоугольника, если:

а) не изменяя его высоты, увеличить основание в k раз?
б) не изменяя его основания увеличить высоту в k раз?
в) его основание увеличить в kраз, а высоту увеличить в п раз?
г) его основание уменьшить в kраз, а высоту увеличить в п раз?

481. Найти стороны прямоугольника, если они относятся, как 4 : 9, а площадь его равна 36 м².

482. Найти периметр прямоугольника, если его площадь равна 144 см², а отношение двух сторон равно 1 : 2.

483. Площадь прямоугольника равна 48 см², одна из его сторон равна 8 см. Прямоугольник разделён прямой, параллельной одной из его сторон, на две равные части. Определить периметр нового прямоугольника (два решения).

484. Основание и высота одного из двух прямоугольников соответственно равны
20 см и 60 см, площадь второго прямоугольника равна половине площади первого, и одна из его сторон равна 50 см. Найти периметр второго прямоугольника.

485. Найти площади фигур, данных на чертеже 159, разбив их сначала на прямоугольники и проведя необходимые измерения. Все углы фигур прямые.

486. Записать в общем виде формулы, по которым, зная размеры а, b, с и d, можно подсчитать площади фигур, данных на чертеже 160.

487. Площади фигур (черт. 161) равны: а) 550 мм²; б) 1300 мм². Определить размер х (размеры на чертеже даны в мм).

Площадь квадрата.

488. 1) Найти площадь квадрата, если измеренная его сторона равна:
а) 2,5 см; б) 0,21 м; в) 1,5 дм.

2) Найти площади квадратов, данных на чертеже 162, предварительно измерив сторону квадрата.

489. Площадь квадрата равна 16 см². Какой станет площадь квадрата, если:
а) все его стороны уменьшить в два раза;
б) все его стороны уменьшить в три раза?

490. Как изменится площадь квадрата, если:
а) все его стороны уменьшить в п раз;
б) все его стороны увеличить в k раз?

491. Начертить фигуру, показывающую, что 1 дм² содержит 100 см².

492. Начертить фигуру, показывающую, что (3а)² = 9а².

493. 1) Выразить площадь квадрата через площади его частей (черт. 163).

2) Начертить фигуру, показывающую, что (а + b)² = а² + 2ab + b².

494. Сопротивление разрыву некоторого сорта стали составляет 60 кГ/мм². Какую нагрузку может выдержать деталь, работающая на разрыв, если её наименьшее поперечное сечение представляет собой квадрат со стороной 120 мм?

495. Найти сторону квадрата, если его площадь равна:
а) 256 см²; б) 76,8 м²; в) 14,6 мм2; г) 9,61 дм².

496. Найти периметр квадрата, площадь которого равна 2,5 м².

497*. Какие размеры должно иметь сечение стального стержня, чтобы он выдержал нагрузку до 1600 кГ, если сечение — квадрат и если сопротивление разрыву для этого материала равно 40кГ/мм²?

Равновеликие фигуры.

498. На чертеже 164 указать равновеликие фигуры.

499. Стороны прямоугольника равны 120 мм и 30 мм; начертить:
а) равновеликий ему прямоугольник, сторона которого была бы равна 100 мм;
б) равновеликий ему прямоугольник, стороны которого относились бы, как 3 : 4;
в) равновеликий ему квадрат.

500. Начертить три прямоугольника, площади которых были бы равны 48 см², а стороны оснований — 5 см, 8 см, 10 см.

501. Площадь участка прямоугольной формы равна 20 га. Укажите, какой длины (в метрах) могут быть его стороны. Приведите 2—3 примера.

Площадь параллелограмма.

502. На чертеже 165 указать равновеликие параллелограммы;

503. По данным, приведённым в таблице, где а — основание параллелограмма, h — его высота, S — площадь, вычислить неизвестную величину:

504. 1) Найти площадь параллелограмма, если его стороны равны 4 см и 6 см, а угол между ними равен 30°.

2) Вычислить площадь ромба, если его стороны равны 10 см, а один из углов равен 150°.

505. 1) Стороны параллелограмма а и b образуют угол в 30°. Чему равна площадь параллелограмма?

2) Найти площадь ромба, если его углы относятся, как 1 : 5, а сторона равна а.

506. Косоугольный параллелограмм и прямоугольник имеют соответственно равные стороны. Найти острый угол параллелограмма, если площадь его равна половине площади прямоугольника.

507. Начертить прямоугольник и косоугольный параллелограмм с соответственно равными сторонами. Какая из фигур имеет большую площадь? Почему?

508. В параллелограмме высота, проведённая к одной из сторон, в 3 раза меньше этой стороны. Площадь параллелограмма равна 48 см². Найти эту сторону и высоту.

509. 1) Площадь параллелограмма равна 24 см². Найти расстояние между его сторонами, равными 6 см.

2) В параллелограмме, площадь которого равна 41 см², стороны равны 5 см и 10 см. Найти обе высоты параллелограмма и построить этот параллелограмм.

510. В параллелограмме ABCD CF и СЕ — высоты (черт. 166). Доказать, что
АВ • FC = AD • СЕ.

511. Доказать, что в параллелограмме большая высота соответствует меньшей стороне.

512. В параллелограмме стороны равны 6см и 4см. Одна из высот равна 5 см. Найти другую высоту. Сколько решений имеет задача?

513. Построить параллелограмм по данным его элементам и вычислить его площадь, проведя необходимые построения и измерения (площадь выразить в квадратных сантиметрах):
а) стороны параллелограмма равны 4 см и6 см иобразуют угол в 125°;
б) стороны параллелограмма равны 5 см и 3 см, а одна из диагоналей равна 6 см;
в) диагонали параллелограмма, равные 8 см и 12 см, образуют угол в 150°.

514. Как изменится площадь параллелограмма, если:
а) не изменяя его высоты, увеличить в 3 раза его основание;
б) не изменяя его основания, уменьшить в два раза его высоту;
в) его основание уменьшить в 3 раза, а высоту увеличить в 2 раза?

Площадь треугольника.

515. По данным, приведённым в таблице, где а — основание треугольника, h — высота, проведённая к основанию, и S — площадь треугольника, определить неизвестную величину:

516. Указать на чертеже 167 равновеликие треугольники.

517. Две стороны треугольника равны 6 см и 5 см. Может ли его площадь быть равна: а) 10 см²; б) 15 см²; в) 20 см²?

518. Вычислить площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны:
а) 4 сми 7 см; б) 1,2 м и 35 дм.

519. Вычислить площади заштрихованных фигур (черт. 168), если четырёхугольники
ABCD — прямоугольники.

520. Давление воздуха равно 1 кГ/см². Вычислить силу, с которой воздух давит на треугольную площадку, основание которой равно 0,12 м, а высота — 0,16 м.

521. Площадь треугольника равна 48 см². Найти высоту треугольника, проведённую к стороне, равной 32 см.

522. В треугольнике ABC AB = 3АС. Чему равно отношение высот, проведённых из вершин С и В?

523. 1) В прямоугольном треугольнике катеты равны 6 см и 8 см, гипотенуза равна 10 см. Найти высоту, проведённую к гипотенузе.

2) Основание одного треугольника равно 10 см, высота — 4 см. Основание другого треугольника равно 20 см. Какова должна быть его высота, чтобы треугольники были равновеликими?

3) Стороны прямоугольника равны 5 см и 6 см. Построить равновеликий ему треугольник с основанием, равным 7,4 см. Сколько решений имеет задача?

524. 1) В треугольнике высоты, проведённые к сторонам а и b, обозначены h_a и h_b. Доказать, что а : b= h_a : h_b.

2) Доказать, что если в треугольнике а >b, то h_b> h_a.

525. Построить треугольник по данным его элементам и, проведя необходимые построения и измерения, найти его площадь:
а) сторона треугольника равна 6 см, углы, прилежащие к ней, равны 107° и 32°;
б) стороны треугольника равны 4 cми 5,6 см, а угол между ними равен 88°;
в) стороны треугольника равны 4 см, 6 см, 9 см.

526. Построить прямоугольный треугольник ABC (/ C =90°), площадь которого равнялась бы 24 см², если его катет АС равен 7 см. Какой угол больше: / A или / В? Почему?

527. Построить треугольник, если:
а) его площадь равна 15 см²; одна из сторон равна 5 см и угол, прилежащий к ней, равен 42°; измерить наибольший угол треугольника;
б) площадь треугольника равна 15 см², а стороны равны 5 см и 7 см; измерить меньший угол треугольника.

528. Как изменится площадь треугольника, если:
а) не изменяя его высоты, увеличить в 3 раза его основание;
б) не изменяя его основания, увеличить в 2 раза его высоту;
в) его основание уменьшить в 5 раз, а высоту увеличить в 4 раза?

529. Найти площадь треугольника, две стороны которого равны 3 см и 7 см, а угол между ними равен 30°.

530. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 30°. Найти боковую сторону треугольника, если его площадь равна 200 см².

531. 1) Найти площади фигур, изображённых на чертеже 169.

2) Написать в общем виде формулу для определения площадей фигур, данных на чертеже 170.

532. Площадь фигуры, изображённой на чертеже 171, равна 805 см². Найти неизвестный размер х (размеры на чертеже даны в сантиметрах).

533. В прямоугольный треугольник вписан квадрат CDFG (черт. 172). Найти площадь квадрата, если катеты треугольника равны 8 см и 4 см. (Ответ дать с тремя значащими цифрами.)

Указание. Провести отрезок CF и выразить площадь треугольника ABC, как сумму площадей треугольников CBF и CFA.

534. 1) В треугольнике ABC проведена медиана AD. Доказать, что треугольники ABD и ACD равновелики.

2) В треугольнике ABC точка F, середина медианы BD, соединена с вершинами Аи С. Доказать, что треугольники AFD, CFD, BCF и ABF равновелики.

535. 1) В трапеции ABCD {AB || CD) проведены диагонали, точка их пересечения обозначена через О. Указать все пары равновеликих треугольников.

2) В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О. Какие из образовавшихся треугольников будут равновеликими?

536. Площадь треугольника ABC равна 18 см², точка D взята на стороне АС так, что DC = 2AD. Найти площади треугольников ABD и DBC.

537. 1) Прямой, проходящей через вершину треугольника, разделить его на два равновеликих треугольника.

2) Разделить данный треугольник на три равновеликих треугольника двумя прямыми, проходящими через его вершину.

3) Прямой, проходящей через вершину треугольника, разделить его на два треугольника, площади которых относились бы, как 2:3.

538. В параллелограмме ABCD одна из его вершин соединена с серединами противоположных сторон и с противоположной вершиной. Доказать, что полученные таким образом четыре треугольника равновелики.

539. Вычислить площадь квадрата, если его диагональ равна 14 см.

540. 1) Найти площадь ромба, диагонали которого равны 12 см и 16 см.

2) Доказать, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

541. Середины сторон параллелограмма последовательно соединены. Найти площадь полученного четырёхугольника, если площадь параллелограмма равна 24 см².

542. 1) Построить равнобедренный треугольник, равновеликий данному треугольнику, так, чтобы основание построенного треугольника было равно какой-либо стороне данного треугольника.

2) Построить треугольник, равновеликий данному треугольнику, так, чтобы основание построенного треугольника равнялось какой-либо стороне данного треугольника, а один из углов при основании был равен 45°.

543. Перечертить в тетрадь по клеточкам фигуры, данные на чертеже 173, указать несколько способов определения площадей заштрихованных частей этих фигур и вычислить указанные площади наиболее рациональным способом.

Площадь трапеции.

544. По данным на чертеже 174 элементам трапеций построить трапеции и найти их площади, проведя необходимые построения и измерения.

545. По размерам, проставленным на чертеже 175, вычислить площади трапеций, вычислив предварительно необходимые для этого элементы.

546. На чертеже 176 дано поперечное сечение траншеи. Вычислить площадь её поперечного сечения (размеры на чертеже даны в метрах).

547. Площади многоугольников (черт. 177) равны: а) 12 540 мм²; б) 3375 мм². Вычислить размер х (размеры даны в миллиметрах).

548. Основания трапеции равны 36 см и 12 см, боковая сторона, равная 7 см, образует с одним из оснований трапеции угол в 150°. Найти площадь трапеции.

549. Основания трапеции равны 10 сми 35 см, а площадь её равна 225 см². Найти высоту трапеции.

550. Основание трапеции равно 26 см, высота — 10 см, а площадь — 200 см². Вычислить второе основание трапеции.

551. Высота трапеции равна 20 см, площадь её равна 400 см². Найти среднюю линию трапеции.

552. Площадь трапеции равна 36 см², высота равна 2 см. Найти основания трапеции, если они относятся, как 4 : 5.

553. Найти площади треугольников, данных на чертеже 178, считая, что сторона одной клетки изображает отрезок в 1 см.

554. Середины оснований трапеции соединены отрезком прямой. Доказать, что полученные таким образом две трапеции равновелики.

555*. В треугольнике ABC через точку пересечения его медиан (точку О) проведены,
как показано на чертеже 179, отрезки, параллельные сторонам треугольника. Доказать, что полученные три трапеции равновелики.

Площадь произвольного многоугольника.

556. Доказать, что площадь четырёхугольника, диагонали которого взаимно перпендикулярны, равна половине произведения его диагоналей.

557. Вычислить площадь участка, план которого дан на чертеже 180, если масштаб чертежа равен 1 : 200.

558. Начертить пятиугольник по заданным его размерам (черт. 181) и найти его площадь.

Теорема Пифагора.

559. Найти гипотенузу прямоугольного треугольника по данным его катетам:
а) 3 см и 4 см; б) 0,5 см и 1,2 см.

560. Найти неизвестный катет прямоугольного треугольника по его катету и гипотенузе: а) 8 см и 10 см; б) 2 см а 3 см; в) 56 см и 10,1 дм.

561. Могут ли длины всех сторон прямоугольного треугольника выражаться нечётными числами?

562. На фигурах, приведённых на чертеже 182, найти неизвестные размеры.

563. Найти периметры фигур, изображённых на чертеже 183.

564. По размерам, данным на чертеже 184, найти расстояния между центрами окружностей (размеры даны в миллиметрах).

565. Стороны прямоугольника равны 12 см и 5 см. Найти его диагонали.

566. Найти стороны ромба, если его диагонали равны:
а) 12 см и 16 см; б) 24,6 см и 56,7 см.

567. 1) Внутри прямого угла находится точка, удаленная от одной его стороны на 64 см и от другой стороны — на 54 см. Найти её расстояние от вершины угла.

2) Внутри прямого угла находится точка, удалённая от одной его стороны на т, а от другой стороны — на п (т и п выражены в одних единицах). Записать формулу, по которой можно найти расстояние от данной точки до вершины угла.

568. Пролёт АС строительной фермы (черт. 185) равен 23,00 м, ноги её АВ и СВ равны 12,00 м. Найти высоту BD фермы.

569. Стороны параллелограмма равны 15 см и 12 см. Одна из диагоналей перпендикулярна к его стороне. Вычислить длину диагоналей.

570. Из точки, взятой вне прямой, проведены к ней две наклонные; одна из них имеет длину 13 мм, её проекция на прямую равна 12 мм. Найти длину второй наклонной, если она составляет с прямой угол в 30°.

571. Из точки, взятой вне прямой, проведены к прямой две наклонные. Одна из них имеет длину 17 см, и её проекция на эту прямую равна 15 см. Найти проекцию второй наклонной, если она образует с прямой угол в 45°.

572. Из точки, взятой на расстоянии 6 м от прямой, проведены к ней две наклонные, одна из которых равна 13 м. Другая наклонная образует с прямой угол в 45°. Найти расстояние между основаниями наклонных (два решения).

573. На фигуре, данной на чертеже 186, найти расстояние между точками А и D.

574. Дан квадрат со стороной 5,5 см. Построить квадрат, площадь которого была бы:
а) в два раза больше площади данного квадрата;
б) в два раза меньше площади данного, квадрата.

575. 1) Построить квадрат, площадь которого равна сумме площадей двух данных квадратов.

2) Построить квадрат, площадь которого равна разности площадей двух данных квадратов.

576. 1) Построить квадрат, площадь которого равна сумме площадей двух квадратов со сторонами 2,5 см и 3,5 см.

2) Построить квадрат, площадь которого равна разности площадей двух квадратов со сторонами 3,5 см и 5,5 см.

ОТВЕТЫ