ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ.
ГЛАВА VI.
ПЛОЩАДЬ МНОГОУГОЛЬНИКА.
ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ И ОБЪЕМ
ПРЯМОЙ ПРИЗМЫ.
§ 18. Площадь многоугольника.
45. 1) Каждая вершина кзадрата соединена с серединой одной из сторон так, как это показано на чертеже 8. Доказать, что площадь квадрата, образованного этими
отрезками, равна — площади данного квадрата.
2) Разрезать квадрат по четырём прямым так, чтобы из полученных частей можно было бы составить 5 равных квадратов.
46. Через точку, взятую на диагонали параллелограмма, проведены прямые, параллельные его сторонам. При этом образуются четыре параллелограмма. Доказать, что параллелограммы, не пересекаемые этой диагональю, равновелики.
47. Некоторая точка О плоскости соединена с вершинами параллелограмма ABCD.
Если точка О находится внутри параллелограмма, то сумма площадей треугольников ОАВ и OCD равна сумме площадей треугольников ОВС и ODA. Доказать.
Сохранится ли это равенство, если точка О находится на стороне или в вершине параллелограмма? Вне параллелограмма?
48. Через каждую вершину произвольного четырёхугольника проведены прямые, параллельные его диагоналям, не проходящим через эту вершину. Показать, что площадь полученного таким образом параллелограмма в два раза больше площади данного четырёхугольника.
49. Середины сторон произвольного выпуклого четырёхугольника последовательно соединены. Площадь полученного параллелограмма равна половине площади четырёхугольника. Доказать.
Верно ли это предложение для невыпуклого четырёхугольника?
50. Через точку, взятую на стороне треугольника, провести прямую, делящую треугольник на две равновеликие части.
51. Дан равнобедренный треугольник ABC (АВ =ВС) и точка М внутри него. Найти геометрическое место точек М, таких, что площади треугольников АМВ и ВМС являются равными.
52*. Каждая сторона треугольника разделена на три равные части и точки деления соединены так, как это показано на чертеже 9. Найти отношение площадей данного треугольника и треугольника, образованного проведёнными отрезками.
53. Середины сторон ВС и AD, точки М и N, четырёхугольника ABCD соединены с его вершинами (черт. 10). Доказать, что площадь треугольника AMD равна сумме площадей треугольников ABN и NCD.
54. Два равных квадрата расположены так, что вершина одного из них находится в центре другого. Найти площадь их общей части.
55. Диагонали делят некоторый четырёхугольник на 4 треугольника. Площади трёх из этих треугольников равны 1 см2, 2 см2, 3 см2. Какова площадь четырёхугольника?
56. Два четырёхугольника имеют общие середины сторон. Доказать, что эти четырёхугольники равновелики.
Теорема Пифагора.
57. 1) Сумма стороны и высоты равностороннего треугольника равна k. Выразить площадь треугольника через k.
2) Разность стороны равностороннего треугольника иего высоты равна l. Выразить площадь этого треугольника через l.
58. В треугольнике ABC АВ = АС =ВС√5 = а. Выразите площадь треугольника ABC через а.
59. Вычислить площадь треугольника, медианы которого взаимно перпендикулярны и равны та и тb.
60. Сторона а равностороннего треугольника разделена в отношении 2 : 1, и из этой точки проведены перпендикуляры к двум другим сторонам. Найдите периметр образовавшегося четырёхугольника.
61. Через центр О квадрата ABCD со стороной а проведена произвольная прямая. Найти сумму расстояний вершин квадрата до этой прямой, если отрезок прямой, заключённый внутри квадрата, равен b.
Указание. Сравнить выражения для площади треугольника АОВ.
62. Отрезок АВ разделен точками С и D на три равные части: АС = CD = СВ. На этих отрезках как на сторонах, по одну сторону от отрезка АВ, построены равносторонний треугольник АСЕ, квадрат CDGF и прямоугольный треугольник DBH, в котором
ВН = 0,5 DB. Точки Е и F и точки G и Н соединены отрезками. Вычислить площадь многоугольника AEFGHB, если АВ = 3b.
63. Диагональ АС равнобедренной трапеции ABCD перпендикулярна боковой стороне ВС. АС = 4а, AD = 3а. Выразить площадь трапеции через а.
64. В шестиугольнике ABCDEF все внутренние углы равны, АВ = CD = EF = 4а,
ВС = DE = FA = 3а. Вычислить площадь шестиугольника.
§ 19. Поверхность прямой призмы.
65. Найти кратчайшее расстояние по поверхности куба ABCDA1B1C1D1между его вершинами А и C1.
66. Найти кратчайшее расстояние по поверхности куба ABCDA1B1C1D1 между точками М и N, лежащими на рёбрах АВ и C1D1 соответственно, если AM = 0,25 АВ и
NC = 0,25 D1C1.
ОТВЕТЫ.
