ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ.
ГЛАВА IX
ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ. ПОДОБИЕ ФИГУР.
§ 26—27. Пропорциональные отрезки. Подобие треугольников.
98. Доказать, что в любом треугольнике высоты относятся как обратные величины сторон, к которым они проведены.
99. Гипотенуза АС прямоугольного треугольника ABC касается в точке Е полуокружности с центром, лежащим на стороне ВС, и проходящей через вершину В. Точка Е делит гипотенузу в отношении а : b. В каком отношении делится центром этой полуокружности и вторым концом её диаметра сторона ВС?
100. 1) В треугольнике ABC / С = 120°, CD — биссектриса угла треугольника. Докажите, что
1/CD = 1/AC+ 1/BC
2) Общее сопротивление двух потребителей тока равно R, сопротивление каждого из
них — R1 и R2 определяется по формуле
1/R = 1/R1+ 1/R2
или по номограмме, представленной на чертеже 20 (при помощи линейки). Пользуясь результатом первой задачи, докажите правомерность использования этой номограммы.
101. Если медиана и высота, проведённые из одной вершины угла треугольника, делят этот угол на три равные части, то треугольник прямоугольный. Доказать.
102. На стороне треугольника от его вершин отложены два равных отрезка. Через полученные точки проведены прямые, паралльные сторонам треугольника. Доказать, что эти прямые пересекаются на медиане треугольника, проведённой к стороне, на которой отложены отрезки.
103. Биссектриса AD внешнего угла треугольника ABC делит продолжение противоположной стороны ВС на части CD и DB, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. Доказать.
Указание. Провести прямую BE, параллельную биссектрисе AD.
104. Биссектрисы внешнего и внутреннего углов треугольника ABC, проведённые из вершины A, пересекают прямую ВС в точках D и D1соответственно.
Доказать, что CD1/D1B= CD/DB
105. В окружность вписаны два угла, опирающиеся на одну и ту же дугу. Доказать, что образовавшиеся при этом треугольники подобны.
106. Сторона а равностороннего треугольника разделена в отношении т: : п (т и п — целые числа), и через точку деления проведены перпендикуляры к двум другим сторонам. Определить периметр образовавшегося четырёхугольника.
Сравните с результатом задачи № 60. Сделайте вывод.
107. Прямая проведена параллельно основаниям трапеции. Доказать, что отрезок этой прямой, заключённый между одной боковой стороной и одной диагональю (или их продолжениями), равен отрезку этой же прямой, заключённому между второй боковой стороной и второй диагональю (или их продолжениями).
108. Если отрезок, заключённый между противоположными сторонами четырёхугольника и проведённый через точку пересечения его диагоналей параллельно одной из двух других сторон, делится этой точкой пополам, то четырёхугольник — трапеция.
109. Доказать, что высота прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.
110. Построить треугольник по двум его медианам, образующим прямой угол. При каких условиях треугольник окажется прямоугольным?
111. На чертеже 21 диаметры AD, DC и АС полуокружностей лежат на одной прямой. Диаметр BD круга перпендикулярен отрезку АС. Точка В лежит на пересечении двух окружностей. Доказать, что площадь заштрихованной части равна площади круга диаметра BD.
112. Две окружности с центрами О и О1 пересекаются в точках А иВ. Через точку А проведены две секущие, CC1 и DD1 , точки С и D находятся на окружности О и точки
C1 и D1 — на окружности О1. Эти точки соединение точкой В.
а) Сравните углы CBD и C1BD1.
б) Сравните треугольники CBC1 и DBD1 .
в) Укажите геометрическое место середин хорд СА, С1A при переменном положении секущей CC1.
113. Две окружности с центрами в точках О и O1 и радиусами R и rкасаются внешним образом в точке С. Их общая внешняя касательная (точки М иM1 — точки касания) пересекается с линией центров в точке S. Их общая внутренняя касательная пересекает внешнюю касательную в точке Р. Точка Т — середина отрезка OO1.
Доказать, что треугольник с вершинами в точках О, Р, О1 прямоугольный.
Выразить ТС, SC через R и r.
114*. В полуокружность вписана ломаная ABCD, АВ = ВС = 2а, CD = 2b. Выразить радиус полуокружности через а и b.
115. Обратная величина квадрата высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, равна сумме обратных величин его катетов. Доказать.
116. В равнобедренном треугольнике ABC из середины основания ВС проведён перпендикуляр КН к боковой стороне АС, точка H лежит на стороне АС. Точка О — середина отрезка КН. Доказать, что прямые АО и ВН перпендикулярны.
117. Через две противоположные вершины параллелограмма проведено по одной прямой. Каждая из этих прямых пересекает две другие стороны (или их продолжения) в точках М и N и в точках К и L. Доказать, что полученные точки являются вершинами трапеции или параллелограмма.
118. Через точку D, взятую на стороне AВ треугольника ABC, проведена прямая, параллельная стороне АС. Через точку Е, пересечения этой прямой со стороной ВС, проведена прямая, параллельная стороне АВ, до пересечения со стороной АС. Через точку F, пересечения этой прямой со стороной АС, проведена прямая, параллельная стороне
ВС, до пересечения со стороной АВ (точка G, черт. 22). Продолжая построение, получим точку Н на стороне ВС, точку I на стороне
АС и т. д. Пусть АВ = 6, ВС = 5, АС = 8.
а) Вычислить AG и СI, если BD = 2; 3; 5.
б) На основе предыдущего упражнения сделайте общий вывод.
в) В каком случае точки G и D совпадут?
119*. На сторонах АВ, АС и ВС треугольника ABC как на основаниях построены три равнобедренных подобных треугольника АВР, ACQ, BCR; два первых треугольника расположены вне дaнного треугольника, третий — по ту же сторону от ВС, что и треугольник ABC. Докажите, что четырёхугольник APRQ — параллелограмм.
§ 30. Решение прямоугольных треугольников.
120. В треугольнике ABC АВ = 5, AC =√6 , cosA = 2/√5 , Вычислить с точностью до 0,01 площадь треугольника.
121. В треугольнике ABC АВ = 4а, АС = 6а, cosA = 1/√5
Найти площадь треугольника, сторону ВС и высоту, проведённую к этой стороне.
122. В треугольнике ABC высота АН = h, / B = 72°, / С = 45°. Выразить через h:
а) стороны треугольника;
б) его площадь;
в) высоты треугольника.
123. В трапеции ABCD АВ || CD, АВ = 4а, ВС = a, AD = 2а, АВ = 72°. Вычислить площадь трапеции.
124. Сторона ромба является средним пропорциональным между его диагоналями. Найдите величину острого угла ромба.
ОТВЕТЫ.
