§   4. Параллельные прямые.
Сумма углов треугольника и многоугольника .

Углы при параллельных и секущей.

1. Две параллельные прямые пересечены третьей прямой. Один из полученных восьми углов равен 72°. Чему равен каждый из остальных?

2. Две параллельные прямые пересечены третьей прямой; при этом один из внутренних углов равен 1³/₈ d. Под каким углом его биссектриса пересекает другую параллель?

3. Две параллельные прямые пересечены третьей прямой. Сумма трёх углов: данного внутреннего, внутреннего одностороннего с ним и накрест лежащего с первым углом равна 3 ²/₇ d. Определить угол, соответственный с первым внутренним.

4. Прямые АМВ и CND пересечены прямой EMNF, / CNF = ³/₁₆d   и   / NMB = ³/₄d.   Параллельны ли данные прямые? Как надо изменить величину угла NMB, чтобы прямые сделались параллельными?

5. Прямые AMNB и CRSD пересечены прямыми EMRF и GNSH.
Дано, что / АME =1⁵/₂₄ d,  / ANS = 1³/₈d и / MRS = ¹⁹/₂₄d. Определить / DSH.

Углы с параллельными и перпендикулярными сторонами.

6. Дан / АВС = 43°. Из точки Р, лежащей внутри этого угла, проведены две прямые параллельно его сторонам до пересечения с ними. Определить углы образовавшегося четырёхугольника.

7. Даны два угла с параллельными сторонами; один из них на 90° больше другого. Чему равен каждый угол?

8. Даны два угла с перпендикулярными сторонами; один из них в 4 раза меньше другого. Найти величину каждого угла.

9. Через концы основания треугольника проведены два перпендикуляра к боковым сторонам; пересекаясь, эти перпендикуляры образуют угол в 130°. Вычислить угол при вершине треугольника.

Сумма углов треугольника.

10. В треугольнике один угол равен 1¹/₆ d, а другой ³/₈ d. Чему равен третий угол?

11. Определить углы треугольника, если они относятся, как 1:2:3.

12. Два угла треугольника относятся, как 5:7, а третий угол на ⁴/₁₉d больше первого. Определить третий угол.

13. В треугольнике два угла равны: 110°23'60" и 24°36'40". Определить третий угол.

14. В прямоугольном треугольнике  один  острый угол равен 58°20'. Определить другой острый угол.

Равнобедренный треугольник.

15. В средней полосе СССР обычно приняты следующие размеры угла между стропильными ногами АС и АВ (черт. 9):

для железных крыш 120° (приблизительно)
 „   толевых         „    145°
„   черепичных   „    100°
„   тесовых          „     90°

Определить для каждой крыши тот угол, который стропильные ноги составляют с горизонтальной линией СВ.

16. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 105°27". Определить угол при основании.

17. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 70°43'. Определить угол при вершине.

18. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 1²/₇ d. Определить угол при основании.

19. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен  ⁵/₉ d. Определить угол при вершине.

20. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 30°; на боковую сторону опущена высота. Найти угол между этой высотой и основанием.

21. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 30°; найти угол между одной боковой стороной и высотой,  опущенной на другую боковую сторону.

22. В равнобедренном треугольнике угол между высотой и боковой стороной на ¹/₇d меньше угла при основании. Определить углы этого треугольника.

Прямоугольный треугольник.

23. Для того чтобы измерить высоту дерева BD, приготовили прямоугольный треугольник АВ₁С₁ с углом А = 45° (черт. 10) и, держа его вертикально, отошли на такое расстояние, при котором, глядя вдоль гипотенузы АВ₁, увидели верхушку дерева В. Какова высота дерева, если расстояние АС =5,6 м, а высота человека 1,7 м ?

24. 1) В прямоугольном  треугольнике   один острый угол равен ¹/₂d. Определить катеты, если их сумма равна 36 см.

2) В прямоугольном треугольнике острый угол равен ¹/₂ d. Определить гипотенузу, если в сумме с опущенной на неё высотой она составляет 12 см.

Катет, лежащий против угла в 30°.

25. Доказать теорему: если в прямоугольном треугольнике один острый угол равен 30°, то противолежащий ему катет равен половине гипотенузы.

26. Обратная теорема (см. задачу 25): если катет вдвое меньше гипотенузы, то противолежащий ему угол равен 30°. Доказать.

27. С помощью циркуля и линейки разделить прямой угол на 3 равные части.

28. В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен ²/₃ d, а сумма гипотенузы с меньшим катетом равна 1,8 м. Определить гипотенузу.

Внешний угол треугольника.

29. В треугольнике ABC внешний угол при вершине В в три раза больше угла А и на  ⁴/₉ d больше угла  С.   Определить углы треугольника.

30. В равностороннем треугольнике проведены две медианы; найти острый угол между ними.

31. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен ^d/₃  . Найти острый угол между гипотенузой и биссектрисой прямого угла.

32. В равнобедренном треугольнике сумма внутренних углов вместе с одним из внешних равна ²¹/₈ d.     Определить углы этого треугольника.

33. Доказать, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию.

Применение теоремы о сумме углов треугольника
к решению разных задач на треугольники.

34. Один из углов треугольника равен ²/₃ d; как велик острый угол, образованный биссектрисами двух других углов треугольника?

35. Дан угол А; от его вершины А откладываем на стороне отрезок АВ; из точки В проводим прямую, параллельную второй стороне данного угла; на этой прямой откладываем внутри угла отрезок BD, равный ВА, и соединяем точку D с вершиной А. Доказать, что прямая AD делит данный угол пополам.

36. Под каким углом пересекаются биссектрисы двух внутренних односторонних углов при параллельных прямых?

37. В треугольнике ABC угол В прямой; М—точка пересечения биссектрис углов А и С. Определить угол АМС.

38. В треугольнике ABC биссектрисы углов А и С пересекаются в точке М. Определить угол ABC, если он равен половине угла АМС.

39. В треугольнике ABC угол В прямой; AD и СЕ — продолжения гипотенузы АС. Углы BAD и ВСЕ разделены пополам; М—точка пересечения их биссектрис (продолженных за вершины). Определить угол АМС.

40. В равнобедренном треугольнике угол между основанием и высотой, опущенной на боковую сторону, равен  ⁸/₁₅ d. Определить углы этого треугольника.

41. В равнобедренном треугольнике ABC высота AD, опущенная на боковую сторону ВС, образует с боковой стороной АВ угол BAD = ¹/₅ d. Определить углы этого треугольника:
 1) предполагая, что высота AD проходит внутри треугольника, и
 2) предполагая, что AD проходит вне треугольника.

42. Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине.

43. Доказать теорему: если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.

44. Если на гипотенузе ВС равнобедренного прямоугольного треугольника ABC отметить две точки Е и D так, что ВЕ = ВА и CD = CA, то / DAE = ¹/₂ d, Доказать.

45. ABC—равнобедренный треугольник с основанием АС; CD—биссектриса угла С;    / ABC = ⁵/₃d. Определить / В.

46. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 36°. Доказать, что биссектриса угла при основании, продолженная до пересечения с противоположной стороной, делит равнобедренный треугольник на два других тоже равнобедренных треугольника.

47. В треугольнике ABC сторона АС продолжена за точку С на длину СЕ = СВ и за точку А на длину AD = AB; точки Е и D соединены с В. Определить углы треугольника DBE, если углы треугольника ABC известны.

48. В треугольнике ABC проведены высоты AD и СЕ; М—точка их пересечения. Определить / АМС, если дано, что / BAC= ¹/₄ d и / ВСА = ⁵/₆ d.

49. В равнобедренном треугольнике ABC высоты AD и СЕ, опущенные на боковые стороны, образуют / AМС = ⁸/₁₅ d . Определить углы треугольника ABC.

50. В треугольнике ABC из вершины С проведены биссектрисы внутреннего и внешнего углов; первая биссектриса образует со стороной АВ угол, равный ⁶/₁₇ d. Какой угол образует с продолжением стороны АВ вторая биссектриса?

51. Из середины гипотенузы восстановлен перпендикуляр до пересечения с катетом, и полученная точка соединена с концом другого катета отрезком, который делит угол треугольника в отношении 2:5 (меньшая часть — при гипотенузе). Определить этот угол.

Сумма углов многоугольника.

52. Определить сумму внутренних углов: 1) семиугольника; 2) десятиугольника; 3) двадцатипятиугольника.

53. Определить утлы пятиугольника, зная, что величины их относятся между собой, как 1 : 1,5 : 2 : 2,5 : 3.

54. Как изменится сумма углов многоугольника, если число его сторон увеличить на 5?

55. Сколько сторон имеет многоугольник, если сумма его внутренних углов равна:
1) 30d; 2) 48d; 3) 57d?

56. В каком многоугольнике сумма внутренних углов равна сумме внешних углов?

57. Сколько сторон имеет многоугольник, если сумма его внутренних углов вместе с одним из внешних равна 23 d?

58. Определить число сторон многоугольника, если сумма его внутренних углов в т раз больше суммы внешних углов (т = 1, 2, 3).

59. Определить углы четырёхугольника, если из них,первые  два относятся,  как 5:7,  третий равен их разности, а четвёртый меньше третьего на  ⁴/₁₁d.

ОТВЕТЫ