§  5. Параллелограммы и трапеции .

Углы и стороны параллелограмма.

1, Один  из  углов  параллелограмма равен ³/₇d. Определить остальные углы.

2. Определить углы параллелограмма, если один из них больше другого на ³/₁₁ d.

3. В параллелограмме ABCD сторона АВ равна 9 см и составляет  ³/₁₀   всего периметра. Определить другие стороны этого параллелограмма.

4. Две стороны параллелограмма относятся, как 3 : 4, а периметр его равен 2,8 м. Определить стороны.

5. В параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла А, которая пересекает сторону ВС в точке Е. Определить отрезки BE и ЕС, если AВ=9 см и AD = 15 см.

6. На чём основано устройство чертёжных инструментов, называемых „параллельными линейками" (черт. 11)?

7. Стороны параллелограмма равны 8 см и 3 см; биссектрисы двух  углов   параллелограмма, прилежащие к большей   стороне,   делят   противолежащую сторону на три части. Найти каждую из них.

Диагонали параллелограмма.

8. Одна из сторон параллелограмма равна 5 м. Могут ли его диагонали выражаться следующими числами: 1) 4 м и 6 м; 2) 4 м и 3 м; 3) 6 м и 7 м?

9. Доказать, что всякий четырёхугольник, диагонали которого взаимно делятся пополам, есть параллелограмм.

10. Может ли диагональ параллелограмма равняться его стороне?

11. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая. Доказать, что отрезок её между параллельными сторонами делится в этой точке пополам.

12. В параллелограмме ABCD через точку пересечения диагоналей проведена прямая, которая отсекает на сторонах ВС и AD отрезки BE = 2 м и AF=2,8 м. Определить стороны ВС и AD.

13. В параллелограмме ABCD высота, которая проведена из вершины В, делит основание AD пополам. Определить диагональ BD и стороны параллелограмма, если известно, что периметр параллелограмма содержит 3,8 м и превышает периметр треугольника ABD на 1 м.

Построение параллелограмма.

14.  Построить  параллелограмм, стороны которого даны, если высота, проведённая из вершины тупого угла, делит противолежащую сторону пополам.

15. Построить параллелограмм:

1) по двум сторонам длиной в 2 см и 3 см и углу между ними, содержащему 110°;

2) по двум сторонам, равным 2,1 см и 3,2 см, и одной из диагоналей, равной 4,0 см;

3) по двум диагоналям, равным 6,0 см и 5,0 см, и одной из сторон, равной 4,5 см;

4) по двум диагоналям, равным 5 см и 4 см, и углу между ними, равному 135°;

5) по основанию, равному 2,0 см, высоте, равной 1,5 см, и диагонали, равной 3,2 см.

Разные задачи на   параллелограммы.

16. Каждая из боковых сторон равнобедренного треугольника равна 5 дм. Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Вычислить периметр получившегося параллелограмма.

17. В параллелограмме угол между высотами, проведенными из вершины острого угла, равен 1⁵/₁₁d. Определить углы параллелограмма.

18. Середины Е и F параллельных сторон ВС и AD параллелограмма ABCD соединены прямыми с вершинами D и В (черт. 12). Доказать, что эти прямые делят диагональ  АС на три равные части.

19. Из произвольной точки основания равнобедренного треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам. Доказать, что периметр получившегося параллелограмма не зависит от положения точки и равен сумме боковых сторон треугольника.

Прямоугольник.

20. В прямоугольнике диагональ образует со стороной угол,  равный ²/₅ d. Определить угол между диагоналями, обращенный к меньшей стороне.

21. В прямоугольнике определить угол между меньшей стороной и диагональю, если он на ¹/₃d меньше угла между диагоналями, опирающегося на ту же сторону.

22. Существует ли внутри прямоугольника точка, одинаково удалённая: 1) от всех его сторон? 2) от всех его вершин?

23. В прямоугольнике точка пересечения диагоналей отстоит от меньшей стороны на  4 см дальше, чем от большей стороны. Периметр этого прямоугольника равен 56 см. Определить его стороны.

24. В прямоугольнике диагонали пересекаются под углом в ²/₃d. Сумма обеих диагоналей и обеих меньших сторон равна 3,6 м. Определить длину диагоналей.

25. ABCD— данный прямоугольник; М — середина стороны ВС. Дано, что прямые МА и MD взаимно перпендикулярны и что периметр прямоугольника ABCD равен 24 м. Определить его стороны.

26. Дан прямоугольник; перпендикуляр, опущенный из вершины на диагональ, делит прямой угол на две части в отношении 3:1. Найти угол между этим перпендикуляром и другой диагональю.

27. В прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен 6 см, вписан прямоугольник, имеющий с треугольником общий угол.  Найти периметр прямоугольника.

28. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие — на катетах. Определить стороны прямоугольника, если известно, что они относятся, как 5:2, а гипотенуза треугольника равна 45 см.

29. Перпендикуляр, опущенный из вершины прямоугольника на его диагональ, делит её в отношении 1:3. Определить длину диагонали, если известно, что точка её пересечения с другой диагональю удалена от большей стороны на 2 м.

30. Построить прямоугольник:

1) по основанию, равному 2,4 см, и диагонали, равной 3,1 см;

2) по диагонали, равной 4,2 см, и углу между диагоналями, равному 135°;

3) по основанию, равному 3,2 см, и углу между диагоналями, равному 120°.

Геометрическое место точек, равноудалённых от прямой.

31. Найти на данной прямой АВ точку, которая находится на расстоянии т ( = 2 см) от другой данной прямой CD.

32. Найти точку, находящуюся на равном расстоянии от двух данных точек и на расстоянии а ( = 6 см) от данной прямой.

33. Внутри данного угла найти точку, находящуюся на расстояниях т ( = 1 см) и n ( = 2 см) от сторон угла.

34. 1) Внутри данного угла построен другой, одноимённый угол, стороны которого параллельны сторонам данного и равно отстоят от них. Доказать, что биссектрисы обоих углов совпадают.

2) Разделить пополам угол, вершина которого не помещается на чертеже.

35. Между сторонами данного острого угла поместить отрезок данной длины так, чтобы он был перпендикулярен к   одной   стороне   угла.

Ромб.

36. В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Определить углы ромба.

37. Доказать, что:

1) всякий параллелограмм, у которого диагонали взаимно перпендикулярны, есть ромб;

2) всякий параллелограмм, у которого диагональ делит угол пополам, есть ромб.

38. Сторона ромба образует с его диагоналями углы, разность которых равна ³/₁₇ d. Определить углы ромба.

39. Углы, образуемые стороной ромба с его диагоналями, относятся, как 5:4. Определить углы ромба.

40. Определить углы ромба, если высота, проведённая из вершины тупого угла, делит противолежащую сторону пополам.

41. Периметр ромба равен 8 см, высота 1 см. Найти тупой угол ромба.

42. Построить ромб:

1) по стороне, равной 2,7 см, и диагонали, равной 6,0 см;

2) по двум диагоналям, равным 4 см и 3 см;

3) по высоте, равной 2,2 см, и диагонали, равной 4,2 см;

4) по углу, содержащему 70°, и диагонали, проходящей через вершину этого угла и равной 3,7 см;

5) по диагонали, равной 5 см, и противолежащему углу, равному 120°.

Квадрат.

43. Построить квадрат по диагонали, равной 3,8 см.

44. Дан квадрат ABCD. На каждой из его сторон отложены равные части: AA₁ = BB₁ = CC₁ = DD₁. Точки A₁, B₁, C₁, D₁ соединены последовательно прямыми. Доказать, что A₁B₁C₁D₁ есть также квадрат.

45. В равнобедренный прямоугольный треугольник, каждый катет которого 2 м, вписан квадрат, имеющий с ним один общий угол. Найти периметр квадрата.

46. В прямоугольном треугольнике прямой угол разделён пополам; из точки пересечения биссектрисы и гипотенузы проведены прямые, параллельные катетам. Доказать, что четырёхугольник, образованный этими прямыми и катетами, есть квадрат.

47. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а другие две — на катетах. Определить сторону квадрата, если известно, что гипотенуза равна 3 м.

48. Дан квадрат, сторона которого 1 м; диагональ его служит стороной другого квадрата. Найти диагональ последнего.

49. Диагональ квадрата равна 4 м. Сторона его служит диагональю другого  квадрата. Найти сторону последнего.

50. 1) Доказать, что биссектрисы углов прямоугольника своим пересечением образуют квадрат.

2) Стороны прямоугольника 1 см и 3 см. Определить диагонали четырёхугольника, образованного биссектрисами внутренних углов.

51. В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Определить стороны этого прямоугольника, зная, что одна из них вдвое более другой и что диагональ квадрата равна 12 м.

52. На катетах прямоугольного треугольника ABC построены два квадрата (черт. 13). Из вершин D и Н этих квадратов на продолжение гипотенузы опущены два перпендикуляра: DK и НМ. Доказать, что: 1.) данный треугольник ABC можно составить из двух   заштрихованных треугольников; 2) сумма перпендикуляров НМ и DK равна   гипотенузе.

Средняя линия треугольника.

53. На половине длины стропильных ног, концы которых раздвинуты на 5 м, устроена затяжка (ригель). Определить её длину.

54. Стороны треугольника равны 8 см, 10 см, 12 см. Найти стороны треугольника, вершинами которого служат середины сторон данного треугольника.

55. Периметр треугольника равен 12 см; середины сторон соединены последовательно. Найти периметр полученного треугольника.

56. Стороны треугольника относятся, как 3:4:6. Соединив середины всех сторон, получим треугольник с периметром в 5,2 м. Определить стороны данного треугольника.

57. По разные стороны от данной прямой MN даны две точки А и В на расстояниях 10 дм и 4 дм от неё. Найти расстояние середины О отрезка АВ от данной прямой.

58. Высота равностороннего треугольника равна 6 дм. Найти проекцию данной высоты на другую высоту.

59. Через вершину тупого угла тупоугольного треугольника проведена вне его прямая;, проекции прилежащих к тупому углу сторон на эту прямую равны 4 см и 2 см. Определить проекции всех медиан на ту же прямую.

60. Внутри произвольного угла взята точка М. Провести через точку М прямую так, чтобы отрезок её, заключённый между сторонами угла, делился в точке М пополам.

Трапеция.

61. В трапеции ABCD из вершины В проведена прямая, параллельная боковой стороне CD, до встречи в точке Е с бoльшим основанием AD. Периметр треугольника ABE равен 1 м, и длина ED равна  3 дм. Определить периметр трапеции.

62. Боковая сторона трапеции разделена на 6 равных частей, и из точек деления проведены к другой боковой стороне отрезки, параллельные основанию. Определить длины этих отрезков, если основания трапеции равны 10 см и 28 см.

63. В трапеции ABCD (AD — большее основание) дано:
AC_|_CD; АВ = ВС;  /  CAD = ²/₇d.   Определить   углы этой трапеции.

64. В трапеции ABCD (AD -большее основание) диагональ АС перпендикулярна к стороне CD и делит /  ВАD пополам; /  CDA = 60°; периметр трапеции равен 2м. Определить AD.

65. Пусть AD означает большее основание трапеции ABCD. Могут ли углы А, В, С и D относиться между собой, как 2:5:6:3?

Средняя линия трапеции.

66. Основания трапеции относятся, как 7:3, и разнятся на 3,2 м. Найти длину средней линии этой трапеции.

67. Основания трапеции равны 2,4 м  и 3 м. Внутри этой, трапеции проведена между боковыми сторонами прямая, параллельная основаниям, которая равна 2,8 м. Одинаково ли удалена эта прямая от обоих оснований и если нет, то к какому основанию она ближе?

68. В трапеции ABCD из середины Е боковой стороны АВ проведена прямая, параллельная основаниям, до встречи в точке F с боковой стороной CD; из вершины В проведена прямая, параллельная стороне CD, до встречи в точке G с бoльшим основанием AD. Определить длину оснований, если EF=12 см и АG = 1 см.

69. В трапеции ABCD из середины Е боковой стороны АВ проведена прямая, параллельная боковой стороне CD, до встречи в точке G с бoльшим основанием AD. Определить основания трапеции, если AG = 5 дм и GD = 2,5 м.

70. Средняя линия трапеции равна 8 дм и делится диагональю на два отрезка, разность между которыми равна 2 дм. Определить основания трапеции.

71. Найти отношение между параллельными сторонами трапеции, в которой средняя линия делится двумя диагоналями на 3 равные части.

Равнобедренная трапеция.

72. Доказать, что  в равнобедренной трапеции углы при основаниях равны.

73. В данной равнобедренной трапеции боковая сторона равна средней линии, а периметр содержит 24 м. Определить боковую сторону.

74. Определить углы равнобедренной трапеции, если известно, что разность противоположных углов равна ⁸/₁₃d.

75. Меньшее основание равнобедренной трапеции равно боковой стороне, а диагональ перпендикулярна к боковой стороне. Определить углы трапеции.

76. ABCD — равнобедренная трапеция, причём AD — большее основание. Разность между периметрами треугольников ACD и ВАС равна 6 дм, а средняя линия трапеции равна 12 дм. Определить основания.

77. В равнобедренной трапеции диагональ делит острый угол пополам; периметр этой трапеции равен 4,5 м, а большее основание равно 1,5 м. Определить меньшее основание.

78. В равнобедренной трапеции высота, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки в 6 см и 30 см. Определить основания этой трапеции.

79. ABCD — равнобедренная трапеция, причём AD—большее основание; СЕ — высота, проведённая на AD. Зная, что DE равно 1,25 м и что средняя линия трапеции равна 2,75 м, определить  основания.

80. В равнобедренной трапеции большее основание равно 2,7 м, боковая сторона равна 1 м, угол между ними равен 60°. Определить меньшее основание.

81. В равнобедренной трапеции острый угол равен 45°, высота её равна h метрам, а средняя линия равна т метрам. Определить основания трапеции.

82. В равнобедренной трапеции высота равна 10 см, а диагонали  взаимно  перпендикулярны.  Найти среднюю линию.

Прямоугольная трапеция.

83. Прямоугольная трапеция делится диагональю на два треугольника: равносторонний со стороной а и прямоугольный. Определить   среднюю   линию   трапеции.

84. В прямоугольной трапеции ABCD острый угол ADC = ¹/₂d и сторона AD = a. Из середины E стороны CD проведён к ней перпендикуляр, который встречает продолжение стороны ВА в точке F. Требуется определить длину BF.

Построение трапеции.

85. Построить трапецию: 1) по двум боковым сторонам, равным 1,5 см и 2 см, и основаниям, равным 5 см и 2,3 см;

2) по одному из оснований, равному 4,8 см, высоте, равной 3,2 см, и двум диагоналям, равным 4,2 см и 5 см;

3) по основанию, равному 4 см, боковой стороне, равной 2,4 см, углу между ними, содержащему 72°, и другой боковой стороне, равной 3 см.

86. Построить трапецию:

1) по четырём сторонам (всегда ли построение возможно?);

2) по двум основаниям и по двум диагоналям (условие возможности построения?).

Смешанные задачи на параллелограммы и трапеции.

87. Определить вид четырёхугольника, вершинами которого служат середины сторон данного: 1) произвольного четырёхугольника; 2) параллелограмма; 3) прямоугольника; 4) ромба; 5)квадрата; 6)трапеции.

88. В четырёхугольнике диагонали равны 1 м и 8 дм и пересекаются под углом в 56°25'. Определить стороны и углы четырёхугольника, который получим, соединяя середины сторон данного.

89. В треугольнике ABC биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке D; прямая, проведённая из D параллельно СА, пересекает АВ в точке Е; прямая, проведённая из Е параллельно ВС, пересекает АС в F. Доказать, что ЕА = FC.

90. 1) На основании равнобедренного треугольника взята точка. Доказать, что сумма расстояний этой точки от обеих боковых сторон равна высоте, опущенной на боковую сторону.

2) На продолжении основания равнобедренного треугольника взята точка. Доказать, что разность расстояний этой точки от боковых сторон равна высоте, опущенной на боковую сторону.

Центральная симметрия.

91. Найти наименьший угол поворота, при котором совмещаются сами с собой: 1) квадрат; 2) ромб; 3) прямоугольник; 4) пятиконечная звезда.

92. Доказать, что прямая, проходящая через точку О пересечения диагоналей прямоугольника (черт. 14), делит прямоугольник на два центрально-симметричных четырёхугольника.

93. Рассмотреть чертёж (черт. 15) и доказать, что точки М и N, К и L центрально-симметричны, т. е. находятся на одинаковом расстоянии от центра. Каким построением получаются в параллелограмме центрально-симметричные точки?

ОТВЕТЫ