§  9. Подобие треугольников и многоугольников.

Подобные треугольники.

1. Стороны треугольника относятся, как 4:5:6; меньшая сторона подобного ему треугольника равна 0,8 м. Определить другие  стороны   второго   треугольника.

2. Стороны треугольника относятся, как 2:5:4; периметр подобного ему треугольника равен 55 м. Определить стороны второго треугольника.

3. Длина тени, отбрасываемой фабричной трубой, равняется 35,8 м; в то же время вертикально воткнутый в землю кол длиной в 1,9 м даёт тень длиной в 1,62 м. Найти высоту трубы.

4. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ дано: /  А = /  А₁ и /  B = / B₁ .Решить для этих треугольников следующие задачи:

1) дано: а = 10; b = 14; а₁ = 25; с₁ = 20. Определить с и b₁;

2) дано: а = 35; а₁ = 21; с — с₁ = 8. Определить с.

5. В треугольниках ABC и DEF  /  А = /  Е и /  В = /  D. Сторона AB=16 см; ВС=20 см; DE=12 см; АС—EF=6 см. Определить AC, EF и DF.

6. В двух равнобедренных треугольниках углы при вершине равны. Боковая сторона и основание одного треугольника равны 17 см и 10 см; основание другого равно 8 см. Определить его боковую сторону.

7. В треугольниках AВС и A₁B₁C₁ дано: /  B = / B₁и стороны первого треугольника, заключающие угол B, в 2,5 раза более сторон второго треугольника, заключающих угол
В₁. Определить AС и A₁C₁, если их сумма равна 4,2 м.

8. В треугольнике ABC и DEF имеется: /  B = /  D, AB = ⁴/₃ DE и DF = 0,75 ВС. Определить AC и EF, если их разность равна 5 см.

9. Узнать, подобны ли треугольники, если стороны их таковы:

1)1 м, 1,5 м и 2 м; 10 см, 15 см и 20 см;

2) 1 м, 2 м и 15 дм; 12 дм, 8 дм и 16 дм;

3) 1 м, 2 м  и 1,25 м; 10 см, 9 см и 16 см.

10. 1)В /\ AВС сторона AВ= 15 м и АС= 20 м; на стороне АВ отложен отрезок АD=10м, а на стороне ФС отрезок АЕ=12 м. Подобны ли треугольники ABC и ADE ?

2) В предыдущей задаче, сохранив длину сторон AВ и АС, взять AD = 9 м и АВ = 12 м. Будут ли тогда подобны треугольники АВС и ADE ?

11. АВ—диаметр одной окружности; АС—хорда.  Описана другая окружность на диаметре DE, равном ¹³/₁₇ АВ, и в ней проведена хорда  DF, равная ¹³/₁₇AC. Определить EF, если известно, что ВС = 3,4 м.

12. 1) Стороны одного треугольника равны 0,8 м, 1,6 м и 2 м; периметр подобного ему треугольника равен 5,5 м. Определить стороны второго треугольника.

2) Периметр одного треугольника   составляет ¹¹/₁₃  периметра подобного ему треугольника. Разность двух сходственных сторон равна 1 м. Определить эти стороны.

13. При устройстве мостов на козловых устоях (черт. 29) для лучшего распределения давления веса моста на грунт к подошвам ног козел А и В прибивают доску АВ, а ноги каждой пары связывают схваткой DE. Найти длину схватки DE, если известно, что высота козел h = 3 м, длина доски АВ=1,5 м, а также, что схватка укрепляется на расстоянии 0,5 м от доски АВ.

14. Дан треугольник ABC и внутри него отрезок DE, параллельный AC (D на АВ, Е на ВС). Определить длину DE:

1) если АС= 20 см, AB = 17 см и BD =11,9 см;

2) если AС= 18 дм, АВ=15 дм и AD= 1 м.

15. Дан треугольник ABC и внутри него отрезок DE, параллельный AC (D на АВ и Е на ВС). Требуется:

1) определить AD, если AB = 16 см, АС=2 дм и DE= 15 см;

2) определить отношение  AD : BD,  если известно, что AС : DE = ⁵/₇ : ⁴/₁₁

16. Открытый участок дороги находится в полосе АВ шириной в 50 м (черт. 30); неприятельский наблюдательный пункт находится на верху колокольни высотой MN = 22 м. Какой высоты следует сделать вертикальную маску KB на расстоянии 500 м от колокольни, чтобы закрыть дорогу от наблюдателя противника?

17.В треугольнике ABC, стороны которого a, b и с даны, проведена параллельно АС прямая MN так, что AM=BN. Определить MN.

18. В треугольнике ABC проведена прямая BD так, что /  BDC = /  АВС; на стороне АС получаются отрезки AD = 7 см и DC = 9 см. Определить сторону ВС и отношение
BD : BA.

19. В треугольнике ABC проведена прямая BD так, что /  ABD = /  ВСА. Определить отрезки AD и DC, если АВ=2 м и АС= 4 м.

20. Построить треугольник, подобный данному, периметр которого равняется данной длине.

21. Построить треугольник по углу, одной из сторон, прилежащих к нему, и отношению этой стороны к третьей стороне.

22. Построить треугольник по высоте, углу при вершине и отношению отрезков основания.

Пропорциональные отрезки в трапеции и параллелограмме.

23. ABCD—данная трапеция, причём BC || AD; О — точка пересечения диагоналей;
AО = 8 см, ОС = 1 дм и BD = 27  см.   Определить  ОВ и OD.

24. Дана трапеция ABCD, причём стороны ВС и AD параллельны; О — точка пересечения диагоналей; ВО:OD = 0,3 : ²/₃; средняя линия трапеции равна 29 см. Определить основания и отношение АО : ОС.

25. В трапеции ABCD (где BC || AD) с диагональю BD углы ABD и BCD равны.
Дано: BС=10 см, DC= 15 см и BD = 20 см. Определить АВ и AD.

26. В трапеции ABCD с диагональю АС углы ABC и ACD равны. Определить диагональ АС, если основания ВС и AD соответственно равны 12 см и 27 см.

27. Основания трапеции относятся, как 5 : 9, а одна из боковых сторон равна 16 см. На сколько надо её продолжить, чтобы она встретилась с продолжением другой боковой стороны?

28. В параллелограмме ABCD сторона АВ = 420 м. На стороне ВС взята точка Е так, что ВЕ : ЕС = 5 : 7, и проведена прямая DE, пересекающая продолжение АВ в точке F. Требуется определить BF.

29. ABCD—данный параллелограмм; F—точка на продолжении стороны АВ; Е — точка пересечения DF и АС. Определить BF, если АЕ : ЕС = т : п и АВ = а.

30. ABCD—данный параллелограмм. Через точку пересечения его диагоналей проведена  перпендикулярная к ВС прямая, которая пересекает ВС в точке Е, а продолжение  АВ — в точке F. Определить BE, если АВ = а, ВС =  b  и  BF = c.

Разные задачи.

31. В треугольник вписан параллелограмм, угол которого совпадает с углом треугольника. Стороны треугольника, заключающие этот угол, равны 20 см и 25 см, а параллельные им стороны параллелограмма относятся, как 6:5. Определить стороны параллелограмма.

32. В треугольник ABC вписан ромб ADEF так, что угол А у них общий, а вершина Е находится на стороне ВС. Определить сторону ромба, если АВ = с и АС = b.

33. Прямая, проведённая через вершину ромба вне его, отсекает на продолжениях двух сторон отрезки р и q. Определить сторону ромба.

34. Вписать квадрат в данный сегмент так, чтобы одна его сторона лежала на хорде, а концы противоположной стороны — на дуге.

35. Вписать квадрат в данный треугольник так, чтобы одна его сторона лежала на стороне треугольника, а вершины противолежащих углов — на двух других сторонах треугольника.

36. В треугольник с основанием а и высотой h вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании треугольника, а другие две — на боковых сторонах. Вычислить сторону квадрата.

37. В данный треугольник вписать прямоугольник, у которого стороны относились бы, как т : п.

38. В треугольник, основание которого равно 48 см, а высота 16 см, вписан прямоугольник с отношением сторон 5:9, причём бoльшая сторона лежит на основании треугольника. Определить стороны прямоугольника.

39. В треугольник, у которого основание равно 30 см, а высота 10 см, вписан прямоугольный равнобедренный треугольник так, что его гипотенуза параллельна основанию данного треугольника, а вершина прямого угла лежит на этом основании. Определить гипотенузу.

40. В треугольник вписан полукруг, у которого полуокружность касается основания, а диаметр (с концами на боковых сторонах треугольника) параллелен основанию. Определить радиус, если основание треугольника paвно а, а высота h.

41. В треугольнике ABC угол С—прямой; АС = 6 см, ВС = 12 см. На стороне ВС взята точка D так, что /  ADC  = 90° — /  В .На какие части точка D делит сторону ВС?

42. В треугольнике ABC даны две стороны: ВС=16 м и АС=12 м и сумма соответствующих высот AD + BE = 14 м. Определить AD и ВE.

43. Стороны параллелограмма равны 2 м  и 16 дм; расстояние между большими сторонами равно 8 дм. Определить расстояние между меньшими сторонами.

44. Периметр параллелограмма равен 48 см, а его высоты относятся, как 5:7. Определить соответствующие им стороны.

45. Определить длину хорды, если  дан радиус r и расстояние а от одного конца хорды до касательной, проведённой через другой её конец.

46. Две окружности внешне касаются. Прямая, проведённая через точку касания, образует в окружностях хорды, из которых одна равна ¹³/₅ другой. Определить, радиусы, если расстояние между центрами равно 36 см.

47. ABC—данный  треугольник; CD—биссектриса угла С; точка Е лежит на ВС, причём DE || AC. Определить DE, если ВС = а и АС = b.

48. ABC—данный треугольник; BD — высота; АЕ—биссектриса угла A; EF—перпендикуляр на АС. Определить EF, если BD = 30 см и АВ : АС= 7 : 8.

49. В параллелограмм вписан ромб так, что его стороны параллельны диагоналям параллелограмма. Определить сторону ромба, если диагонали параллелограмма равны l и т.

50. Четыре параллели, между которыми последовательные расстояния относятся, считая сверху, как 2:3:4, пересечены двумя сходящимися над ними прямыми. Из полученных четырёх параллельных отрезков крайние равны 60 дм  и  96 дм. Определить средние отрезки.

51. В треугольнике ABC проведён от ВА к ВС отрезок DE, параллельный АС.
Дано: AB =24 м, ВС =32 м, АС = 28 м  и  AD + CE =16 м.  Требуется  определить  DE.

52. AD и BE—высоты треугольника ABC, пересекающиеся в точке О.
Дано: AD + BE =35 дм, АО = 9 дм  и  ВО=12 дм. Требуется определить ОЕ и OD.

53. В равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона равна 100 дм, а основание 60 дм, вписан круг.Определить расстояние между точками касания, находящимися на боковых сторонах.

54. Радиус сектора равен r, а хорда его дуги равна а. Определить радиус круга, вписанного в этот сектор.

Подобные многоугольники.

55. Стороны одного пятиугольника равны 35 см, 14 см, 28 см, 21 ели 42 см; меньшая сторона подобного ему пятиугольника равна 12 см. Определить остальные стороны его.

56. Стороны одного четырёхугольника относятся между собой, как. 1 : ¹/₂  : ²/₃  : 2; периметр подобного ему четырёхугольника равен 75 м. Определить стороны второго четырёхугольника.

57. Стороны одного четырёхугольника равны 10 дм, 15 дм, 20 дм и 25 дм; в подобном ему четырёхугольнике сумма наибольшей и наименьшей сторон равна 28 дм. Определить стороны второго четырёхугольника.

58. Наибольшие стороны двух подобных многоугольников равны 35 м 14 м, а разность их периметров равна 60 м. Определить периметры.

59. Завод, изготовляющий цементные плиты для пола, установил у себя нормальную форму (стандарт) для прямоугольных плит такую, чтобы половина BCFE плиты была подобна целой плите ABCD. Найти отношение сторон таких плит (черт. 31).

60. В параллелограмме ABCD сторона АВ = а и ВС = b. Прямая EF отсекает параллелограмм ABEF, подобный ABCD. Определить отрезок BE.

ОТВЕТЫ