|
|
§ 10. Числовая зависимость между линейными элементами
В прямоугольном треугольнике обозначают: а и b — катеты; с — гипотенуза; Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. 1. Вычислить гипотенузу, если даны оба катета: 1) 12 см и 35 см; 2) 56 см и 33 см; В задаче 2 и во многих других случаях выгодно при вычислении разность квадратов заменять произведением суммы на разность 2. Вычислить второй катет, если даны гипотенуза и первый катет: 1) 289 и 240; 2) 269 и 69; 3) 145 и 143; 4) 42,5 и 6,5; 5) 17 и 152/5; 6) 10 и 7. 3. По двум данным элементам прямоугольного треугольника вычислить остальные четыре: 1) a = 15, b = 20; 2) a = 24, b = 7; 3) a = 4, b = 5; 4. По данной сумме двух отрезков и среднему пропорциональному этих отрезков построить отрезки. 5. По данной разности двух отрезков и среднему пропорциональному этих отрезков построить отрезки. 6. Доказать, что в прямоугольном треугольнике ab = ch. 7. Катеты относятся, как 5:6, а гипотенуза равна 122 см. Найти отрезки гипотенузы, отсекаемые высотой. 8. Катеты относятся, как 3:2, а высота делит гипотенузу на отрезки, из которых один на 2 м больше другого. Определить гипотенузу. 9. Катеты относятся, как 3:7, а высота, проведённая на гипотенузу, равна 42 см. Определить отрезки гипотенузы. 10. Доказать, что диаметр окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, есть средняя пропорциональная между параллельными сторонами трапеции. 11. Доказать, что отношение квадратов катетов равно отношению их проекций на гипотенузу. 12. 1) Построить два отрезка, квадраты которых относятся, как т : п. 2) Построить два отрезка, которые относились бы, как квадраты двух данных отрезков. Теорема Пифагора. 13. Узнать, какими тремя последовательными целыми числами могут выражаться стороны прямоугольного треугольника. 14. Между двумя фабричными зданиями устроен покатый жёлоб для передачи материалов. Расстояние между зданиями равно 10 м, а концы жёлоба расположены на высоте 8 м и 4 м над землёй. Определить длину жёлоба. 15. 1) Точка внутри прямого угла удалена от его сторон на расстоянии а и b. Найти её расстояние от вершины. 2) Стороны прямоугольника равны 60 см и 91 см. Чему равна его диагональ? 16. Требуется выфрезовать квадратную головку со стороной 32 мм. Чему должен быть равен наименьший диаметр круглого железа, годного для этой цели? 17. 1) Сторона квадрата равна а. Чему равна его диагональ? 2) Определить сторону квадрата, если она меньше диагонали на 2 см. 18. Диаметр бревна 12 см. Можно ли из этого бревна вытесать квадратный брус со стороной 10 см? 19. 1) Стороны прямоугольника равны а и b. Определить радиус описанного круга. 2) В круг вписан прямоугольник, стороны которого относятся, как 8:15. Определить эти стороны, если радиус круга равен 34 см. 20. 1) Катеты прямоугольного треугольника равны 8 дм и 18 см. Определить радиус описанного круга. 2) Катеты прямоугольного треугольника равны 16 см и 12 см. Определить медиану гипотенузы. 21. 1) В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 17 см, а основание 16 см. Определить высоту. 2) Определить стороны равнобедренного треугольника, если его высота равна 35 см, а основание относится к боковой стороне, как 48:25. 3) В равнобедренном треугольнике основание равно 4 см, а угол при нём равен 45 . Определить боковую сторону. 22. Стропильная ферма (черт. 32) имеет ноги АВ и СВ по 9 м и пролёт АС в 15 м. Определить высоту фермы BD.
23. 1) Биссектриса прямого угла делит гипотенузу прямоугольного треугольника на части, равные 21/7 м и 2 6/7 м. Определить катеты. 2) Катеты прямоугольного треугольника равны 15 см и 20 см. Из вершины прямого угла проведены высота и биссектриса. На какие отрезки разделилась гипотенуза? 24. 1) В равностороннем треугольнике определить высоту по данной стороне а. 2) В равностороннем треугольнике определить сторону по данной высоте h. 3) В равностороннем треугольнике высота меньше стороны на т. Определить сторону. 4) В прямоугольном треугольнике один из углов равен 30°, а больший катет равен 6 см. Определить две другие стороны этого треугольника. 25. 1) Боковые стороны треугольника равны: а = 25 см и b = 30 см, а высота hс = 24 см. Определить основание с. 2) В треугольнике больший угол при основании равен 45°, а высота делит основание на части в 20 см и 21 см. Определить бoльшую боковую сторону. 3) Из одной точки проведены к данной прямой перпендикуляр и две наклонные. Определить длину перпендикуляра, если наклонные равны 41 cм и 50 см, а их проекции на данную прямую относятся, как 3:10. 26. 1) Диагонали ромба равны 24 см и 70 см. Определить сторону. 2) Определить диагонали ромба, если они относятся, как 3:4, а периметр равен 1 м. 27. 1) В равнобедренной трапеции основания равны 10 см и 24 см, боковая сторона 25 см. Определить высоту трапеции. 2) В равнобедренной трапеции боковая сторона равна 41 см, высота равна 4 дм и средняя линия 45 см. Определить основание. 28. Параллельно прямой дороге, на расстоянии 500 м от неё, расположена цепь стрелков; расстояние между крайними стрелками равно 120 м, дальность полёта пули равна 2,8 км. Какой участок дороги находится под обстрелом этой цепи? 29. На чертеже 33 изображена заклёпка ОСТ 302 (ОСТ —общесоюзный стандарт) с потайной головкой. Угол α = 60°.
Вычислить: 1) D, если d = 16,5 мм и h = 7,5 мм; 2) d, если D = 30 мм и h = 9,5 мм; 3) h, если D = 35 мм и d = 22 мм. Написать формулу, связывающую между собой D, d, h. 30. 1) В треугольнике ABC проведена высота AD. 2) Если М—некоторая точка высоты AD треугольника ABC, 31. 1) Доказать, что в прямоугольной трапеции разность квадратов диагоналей равна разности квадратов оснований. 2) В прямоугольной трапеции меньшая диагональ равна наклонной боковой стороне. Определить бoльшую диагональ, если наклонная боковая сторона равна а, а меньшее основание равно b. 32. Из листа железа требуется выштамповать круглые шайбы, диаметром в 28 мм. Найти расстояние между прямыми, на которых следует расположить центры шайб (черт. 34).
33. 1) Радиус круга равен 89 дм, хорда 16 м. Определить её расстояние от центра. 2) О—центр; АСВ—хорда; OCD—радиус, перпендикулярный к ней, ОС=9 см и 3) Радиусы двух пересекающихся окружностей равны 13 см и 15 см, а общая хорда равна 24 см. Определить расстояние между центрами. 4) АВ и CD—две параллельные хорды, расположенные по разные стороны от центра О окружности радиуса R= 15 см. Хорда АВ= 18 см, хорда CD = 24 см. Определить расстояние между хордами. 5) Две параллельные хорды АВ и CD расположены по одну сторону от центра О окружности радиуса R = 30 см. Хорда АВ = 48 см, хорда CD = 36 см. Определить расстояние между хордами. 34. Чтобы измерить диаметр большого шкива, установили штангенциркуль так, как показано на чертеже 35.
Длина ножек штангенциркуля s = 25 мм, расстояние между концами ножек l = 200 мм. 1) определить длину диаметра D; 2) вывести формулу, выражающую зависимость D от s и l. 35. В сегменте хорда равна а, а высота h. Определить радиус круга. 36. Радиус круга равен 25 см; две параллельные хорды равны 14 см и 40 см. Определить расстояние между ними. 37. Расстояния от одного конца диаметра до концов параллельной ему хорды равны 13 см и 84 см. Определить радиус круга. 38. 1) К окружности радиуса, равного 36 см, проведена касательная из точки, удалённой от центра на 85 см. Определить длину касательной. 2) Из общей точки проведены к окружности две касательные. Радиус окружности равен 11 см, а сумма касательных равна 120 см. Определить расстояние от центра до исходной точки касательных. 3) К окружности радиуса, равного 7 см, проведены две касательные из одной точки, удалённой от центра на 25 см. Определить расстояние между точками касания. 39. Два круга радиусов R и r внешне касаются. Из центра одного круга проведена касательная к другому кругу, а из полученной точки касания проведена касательная к первому кругу. Определить длину последней касательной. 40. 1) Два круга касаются извне. Определить длину их общей внешней касательной (между точками касания), если радиусы равны 16 см и 25 см. 2) Радиусы двух кругов равны 27 см и 13 см, а расстояние между центрами равно 41. Касательная и секущая, проведённые из общей точки к одной окружности, взаимно перпендикулярны. Касательная равна 12 м, а внутренняя часть секущей равна 10 м. Определить радиус окружности. 42. АВ и CD—параллельные прямые. АС—секущая, Е и F— точки пересечения прямых АВ и CD с биссектрисами углов С и А. Дано: AF = 96 см и СЕ =110 см. Требуется определить АС. 43. В тупоугольном равнобедренном треугольнике ABC основание АС =32 м, а боковая сторона 20 м. Из вершины В проведён перпендикуляр к боковой стороне до пересечения с основанием. На какие части он делит основание? 44. Катет АС= 15 см; катет СB = 8 см. Из центра С радиусом СВ описана дуга, отсекающая от гипотенузы часть BD, которую и требуется определить. 45. Дуга, описанная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника радиусом, равным меньшему катету, делит гипотенузу на отрезки в 98 см и 527 см (начиная от меньшего катета). Определить катеты. 46. АВ—диаметр круга; ВС—касательная; D—точка пересечения прямой АС с окружностью. Дано: AD = 32 см и DC = 18 см. Требуется определить радиус. 47. АВ—диаметр; ВС и CD А — касательная и секущая. Определить отношение Биссектриса в прямоугольном треугольнике. 48. В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит гипотенузу в отношении 7:9. В каком отношении (считая части в том же порядке) делит её высота? 49. Определить катеты, если биссектриса прямого угла делит гипотенузу на части в 50. В равнобедренном прямоугольном треугольнике катет равен а. На какие части делит его биссектриса противолежащего угла? 51. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит катет на отрезки 52. В прямоугольном треугольнике, катеты которого равны 15 дм и 2 м, проведены: высота из вершины прямого угла и биссектрисы обоих углов, образуемых высотой с катетами. Определить отрезок гипотенузы, заключённый между биссектрисами. 53. В прямоугольном треугольнике ABC катет ВС = 6 см и гипотенуза АВ =10 см. Проведены биссектрисы угла ABC и угла с ним смежного, пересекающие катет АС и его продолжение в точках D и Е. Определить длину DE. 54. В равнобедренном треугольнике ABC боковая сторона АВ = 10 м и основание 55. 1) В равнобедренном треугольнике основание равно 30 см, а боковая сторона равна 39 см. Определить радиус вписанного круга. 2) В равнобедренном треугольнике центр вписанного круга делит высоту в отношении 17:15. Основание равно 60 см. Найти радиус этого круга. Высота и стороны в прямоугольном треугольнике, ромбе и трапеции. 56. Из точки В проведены к данной прямой перпендикуляр ВС и наклонная ВА. На АС взята точка D, и прямая BD продолжена до пересечения в точке Е с прямой АЕ, перпендикулярной к АС. Определить АЕ, если ВА = 53 дм, AD = 8 дм и DC = 20 дм. 57. 1) В равнобедренном треугольнике основание равно 80 дм, а высота 20 дм. Определить высоту, опущенную на боковую сторону. 2) В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, равна 3 дм, а высота, опущенная на боковую сторону, равна 4 дм. Определить стороны этого треугольника. 3) Диагонали ромба равны 14 дм. и 48 дм. Определить его высоту. 58. 1) Гипотенуза АВ = 34 см; катет ВС =16см. Определить длину перпендикуляра, восставленного к гипотенузе из её середины до пересечения с катетом АС. 2) Радиус круга равен r. Определить длину хорды, проведённой из конца данного диаметра через середину перпендикулярного к нему радиуса. 59. В прямоугольном треугольнике ABC катет AС= 16 дм и катет BC=12 дм. Из центра В радиусом ВС описана окружность и к ней проведена касательная, параллельная гипотенузе (причём касательная и треугольник лежат по разные стороны гипотенузы). Катет ВС продолжен до пересечения с проведённой касательной. Определить, на сколько продолжен катет. 60. Из одной точки проведены к кругу две касательные. Длина касательной равна 61. В прямоугольной трапеции основания равны 17 дм и 25 дм, а бoльшая боковая сторона равна 10 дм. Из середины этой стороны проведён перпендикуляр к ней до встречи с продолжением другой боковой стороны. Определить длину этого перпендикуляра. Смешанные задачи на прямоугольный треугольник. 62. АС и СВ — катеты; CD — высота; DE || BC. Определить отношение АЕ : ЕС, если AС : СB = 4 : 5. 63. АС и СВ — катеты; CD — высота; DE_|_AC и DF_|_CB. Определить DE и DF, если AС=75 дм и ВС=100 дм. 64. В двух равнобедренных треугольниках боковые стороны имеют одинаковую длину, а сумма углов при вершинах равна 180°. Основания относятся, как 9:40, а длина боковой стороны равна 41 дм. Определить основания. 65. 1) В треугольнике основание равно 60 м, высота 12 м и медиана основания 13 м. Определить боковые стороны. 2) В прямоугольном треугольнике найти отношение катетов, если высота и медиана, выходящие из вершины прямого угла, относятся, как 40 : 41. 66. Определить радиус круга, описанного около равнобедренного треугольника, если основание и боковая сторона треугольника соответственно равны: 1) 6 дм и 5 дм; 67. В прямоугольном треугольнике катеты равны 13 дм и 84 дм. Определить радиус вписанного круга. 68. Расстояние между центрами двух окружностей, лежащих одна вне другой, равно 65 дм; длина их общей внешней касательной (между точками касания) равна 63 дм, длина их общей внутренней касательной равна 25 дм. Опоедeлить радиус окружностей. 69. Длины двух параллельных хорд равны 40 дм и 48 дм, расстояние между ними равно 22 дм. Определить радиус круга. 70. В равнобедренной трапеции, описанной около круга, основания равны 36 см и 1 м. Определить радиус круга. 71. Около круга, радиус которого равен 12 см, описана равнобедренная трапеция с боковой стороной в 25 см. Определить основания этой трапеции. 72. Около круга радиуса r описана равнобедренная трапеция, у которой параллельные стороны относятся, как т : n . Определить стороны этой трапеции. 73. АВ и АС—касательные к одному кругу с центром О, M—точка пересечения прямой АО с окружностью; DME — отрезок касательной, проведённой через М между АВ и АС. Определить длину DE, если радиус круга равен 15 дм, а расстояние AО=39 дм. 74. Катеты прямоугольного треугольника равны 15 дм и 20 дм. Определить расстояние от центра вписанного круга до высоты, проведённой на гипотенузу. 75. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины С прямого угла опущен перпендикуляр на гипотенузу, и на нём, как на диаметре, описана окружность, которая на катетах СА и СВ даёт внутренние отрезки т и п. Определить катеты (т =12; n = 18). 76. В прямоугольном треугольнике катеты равны 75 дм и 100 дм. На отрезках гипотенузы, образуемых высотой, построены полукруги по одну сторону с данным треугольником. Определить отрезки катетов, заключённые внутри этих полукругов. 77. Если два круга имеют внешнее касание, то их общая внешняя касательная есть средняя пропорциональная между их диаметрами. Доказать. 78. В трапеции ABCD меньшая диагональ BD перпендикулярна к основаниям AD и ВС; сумма острых углов А и С равна 90°. Основание AD = a и ВС = b. Определить боковые стороны АВ и CD. Косоугольный треугольник. 79. На чертеже 36 показан план помещения, которое желают разгородить по линии АС. Ввиду препятствий, встречающихся вдоль прямой АС, вместо неё измерены:
80. На чертеже 37 изображён кран, у которого стойка а = 10 м и плечо b = 13 м. Угол между а и b равен 120°. Определить длину тяги с. 81. В треугольнике определить вторую боковую сторону, если следующими числами соответственно выражаются первая боковая сторона, основание и проекция второй боковой на основание: 1) 6; 5; 3,8; 2) 2; 3; 2; 3) 12; 8; 11; 4) 2; 2; 3. 82. Определить вид треугольника (относительно углов), если даны три стороны или отношения их: 1) 2; 3; 4; 2) 3; 4; 5; 3) 4; 5; 6; 4) 10; 15; 18; 5) 68; 119; 170. 83. В треугольнике ABC пусть будут: b — основание, а и с —боковые стороны, 1) а =13, b =14, с =15; 2) а = 37, b =30, с =13; 3) а = 25, b =12, с = 17; 4) а = 2, b = 4, с = 3. 84. В треугольнике определить третью сторону, если две другие образуют угол в 60° и соответственно равны: 1) 5 см и 8 см; 2) 8 см и 15 см; 3) 63 см и 80 см. 85. В треугольнике определить третью сторону, если две другие образуют угол в 120° и соответственно равны: 1) 3 см и 5 см; 2) 7 см и 8 см; 3) 11 см и 24 см. 86. В треугольнике определить третью сторону, если две другие образуют угол в 45° и соответственно равны: 1) 2 и 3; 2) √8 и 5;. 3) √18 и 7. 87. Определить стороны треугольника, зная, что средняя по величине сторона отличается от каждой из двух других на единицу и что проекция большей стороны на среднюю равна 9 единицам. 88. Сторона треугольника равна 21 см, а две другие стороны образуют угол в 60° и относятся, как 3:8. Определить эти стороны. 89. В треугольнике боковая сторона равна 16 м и образует с основанием угол в 60°; другая боковая сторона равна 14 м. Определить основание. 90. Основание треугольника равно 13 см; угол при вершине равен.60°; сумма боковых сторон равна 22 см. Определить боковые стороны и высоту. 91. В треугольнике основание равно 12 см; один из углов при нём равен 120°; сторона против этого угла равна 28 см. Определить третью сторону. 92. В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза АВ продолжена на длину BD, равную ВС, и точка D соединена с С. Определить стороны треугольника ADC, если катет ВС = а. 93. Определить хорду половинной дуги, если хорда целой дуги равна а, радиус равен r (r =25; а = 48). 94. 1) В прямоугольном треугольнике ABC катет АС = 15 см и катет ВС = 20 см. На гипотенузе АВ отложена часть AD длиной в 4 см, и точка D соединена с С. Определить длину CD. 2) Треугольник ABC—прямоугольный при С. На продолжении гипотенузы АВ отложен отрезок BD, равный катету ВС, и точка D соединена с С. Определить длину CD, если ВС= 7 см и AС = 24 см. 95. В треугольнике ABC проведены высоты BD и СЕ, и точки D и Е соединены. Найти отношение площади /\ ADE к площади /\ ABC: 1) если / А = 45°; 2) если / А = 30°. 96. В треугольнике ABC дана точка D на стороне АВ; определить длину CD, если известно, что а = 37, b = 15, с = 44 и AD= 14. 97. В тупоугольном треугольнике большая сторона равняется 16 см, а высоты, проведённые из обоих её концов, отстоят от вершины тупого угла на 2 см и на 3 см. Определить две меньшие стороны треугольника. 98. Стороны равнобедренного треугольника суть: АВ = BC=50 см и AС= 60 см. Проведены высоты АЕ и CD, и точки D и Е соединены. Определить стороны треугольника DBE. 99. В треугольнике ABC из конца С стороны АС проведён перпендикуляр к ней до пересечения в точке D с продолжением стороны АВ. Определить BD и CD, если АВ = 45, ВС = 39 и AС = 42. 100. В треугольнике ABC даны стороны: АВ= 15, АС = 14 и BC = 13. Биссектриса угла В продолжена за его вершину до пересечения в точке Е с перпендикуляром к АС, проведённым из точки С. Определить длину СЕ. 101. Данного круга касаются два равных меньших круга: один изнутри, другой извне, причём дуга между точками касания содержит 60°. Радиусы меньших кругов равны r, радиус большего круга равен R. Определить расстояние между центрами меньших кругов. Параллелограмм и трапеция. 102. 1) Стороны параллелограмма равны 23 см и 11 см, а диагонали относятся, как 2:3. Определить диагонали. 2) Диагонали параллелограмма равны 17 см и 19 см, а стороны относятся, как 2:3. Определить стороны. 103. 1) Диагонали параллелограмма равны 12 см и 14 см, а разность сторон равна 4 см. Определить стороны параллелограмма. 2) Определить стороны и диагонали параллелограмма, если бoльшая сторона равна меньшей диагонали, разность сторон равна 3 см и разность диагоналей равна 2 см. 104. 1) Стороны треугольника: 16, 18 и 26. Вычислить медиану большей стороны. 2) Две стороны треугольника 7 и 11; медиана к третьей стороне равна 6. Определить третью сторону. 3) Стороны треугольника а, b и с. Определить медианы. 105. Определить высоту параллелограмма, у которого основание равно 51 см, а диагонали 40 см и 74 см. 106. В равнобедренной трапеции определить длину диагоналей: 107. Определить высоту и диагонали трапеции, если основания а и с и боковые стороны b и d выражаются следующими числами: 1) а = 25, b =13, c =11, d =15; 108. В треугольник вписан параллелограмм так, что одна его сторона лежит на основании треугольника, а диагонали соответственно параллельны боковым сторонам треугольника. Основание треугольника равно 45 см, а боковые стороны 39 см и 48 см. Определить стороны параллелограмма. 109. Доказать, что в равнобедренной трапеции квадрат диагонали равен квадрату боковой стороны, сложенному с произведением оснований. 110. Доказать, что во всякой трапеции сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон, сложенной с удвоенным произведением оснований. 111. Доказать, что во всяком четырёхугольнике сумма квадратов диагоналей вдвое более суммы квадратов отрезков, соединяющих середины противоположных сторон. 112. Определить острый угол ромба, в котором сторона есть средняя пропорциональная между диагоналями. ОТВЕТЫ
|
