§ 11. Пропорциональные отрезки в круге.

 

1. Ферма моста ограничена дугой окружности (черт. 38); высота фермы MK= h = 3 м; радиус дуги АМВ пролёта R = 8,5 м. Вычислить длину АВ пролёта моста.

2. В сводчатом подвале, имеющем форму полуцилиндра, надо поставить две стойки, каждую на одинаковом расстоянии от ближайшей стены. Определить высоту стоек, если ширина подвала по низу равна 4 м, а расстояние между стойками 2 м.

3. 1) Из точки окружности проведён перпендикуляр на диаметр. Определить его длину при следующей длине отрезков диаметра: 1) 12 см и3 см; 2) 16см и 9 см, 3)2 м и 5 дм.

2) Из точки диаметра проведён перпендикуляр до пересечения с окружностью. Определить длину этого перпендикуляра, если диаметр равен 40 см, а проведённый перпендикуляр отстоит от одного из концов диаметра на 8 см.

4. Диаметр разделён на отрезки: АС= 8 дм и СВ=5 м, и из точки С проведён к нему перпендикуляр CD данной длины. Указать положение точки D относительно круга, когда CD равняется: 1) 15 дм; 2) 2 м; 3) 23 дм.

5. АСВ—полуокружность; CD — перпендикуляр на диаметр АВ. Требуется:

1) определить DB, если AD = 25 и CD =10;

2) определить АВ, если AD: DB= 4 : 9 и CD=30;

3) определить  AD,  если CD=3AD,  а радиус равен r;

4) определить AD, если AВ=50 и CD= 15.

6. 1) Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на радиус, равный 34 см, делит его в отношении 8:9 (начиная от центра). Определить длину перпендикуляра.

2) Хорда BDC перпендикулярна к радиусу ODA. Определить ВС, если ОA = 25 см и AD=10 см.

3) Ширина кольца, образованного двумя концентрическими окружностями, равна 8 дм; хорда большей окружности, касательная к меньшей, равна 4 м. Определить радиусы окружностей.

7. С помощью сравнения отрезков доказать, что среднее арифметическое двух неравных чисел больше их среднего геометрического.

8. Построить отрезок, средний пропорциональный между отрезками 3 см и 5 см.

9. Построить отрезок, равный: √15; √10; √6; √3.

10. ADB—диаметр; АС—хорда; CD—перпендикуляр к диаметру. Определить хорду АС: 1) если АВ=2 м и AD = 0,5 м; 2) если AD = 4 см и DB = 5 см; 3) если AB=20 м и DB= 15 м.

11. АВ—диаметр; АС—хорда; AD—её проекция на диаметр АВ. Требуется:

1) определить AD, если АB=18 см и АС=12 см;

2) определить радиус, если AС=12 м и AD=4 м;

3) определить DB, если AС=24 см и DB = 7/9 AD.

12. АВ—диаметр; АС—хорда; AD—её проекция на диаметр АВ. Требуется:

1) определить АС, если АВ = 35 см и AC=5AD;

2) определить АС, если радиус равен r и AC=DB.

13. Две хорды пересекаются внутри круга. Отрезки одной хорды равны 24 см и 14 см; один из отрезков другой хорды равен 28 см. Определить второй её отрезок.

14. Мостовая ферма ограничена дугой окружности (черт. 38); длина моста АВ= 6 м, высота А =1,2 м. Определить радиус дуги (OM= R).

15. Два отрезка АВ и CD пересекаются в точке М так, что МА =7 см, MB=21 см,
МС = 3 см и MD = 16 см. Лежат ли точки А, В, С и D на одной окружности?

16. Длина маятника MA = l = 1 м (черт. 39), высота подъёма его, при отклонении на угол α, CA = h= 10 см. Найти расстояние ВС точки В от МА  (ВС = х).

17. Для перевода железнодорожного пути шириной b = 1,524 м в месте АВ (черт.  40) сделано закругление; при    этом    оказалось, ; что   BС= а = 42,4   м. Определить   радиус  закругления OA = R.

18. Хорда АМВ повёрнута около точки М так, что отрезок МА увеличился  в  2 1/2  раза. Как изменился отрезок MB?

19. 1) Из двух пересекающихся хорд одна разделилась на части в 48 см и 3 см, а другая — пополам. Определить длину второй хорды.

2) Из двух пересекающихся хорд одна разделилась на части в 12 м и 18 м, а другая— в отношении 3:8. Определить длину второй хорды.

20. Из двух пересекающихся хорд первая равна 32 см, а отрезки другой хорды равны
12 см и 16 см. Определить отрезки первой хорды.

21.  Секущая   ABC   повёрнута   около внешней   точки  А   так,  что  внешний   её отрезок АВ уменьшился в три раза. Как изменилась длина секущей?

22. Пусть ADB и AЕС—две прямые, пересекающие окружность: первая —в точках D и В, вторая —в точках E и С. Требуется:

1) определить АЕ, если AD = 5 см, DB=15 см и АС=25 см;

2)определитьBD, если АВ = 24 м, АС= 16 м и ЕС=10м;

3) определить АВ и АС, если АВ+АС=50 м, a AD : AE = 3:7.

23. Радиус окружности равен 7 см. Из точки, удалённой от центра на 9 см, проведена секущая так, что она делится окружностью пополам. Определить длину этой секущей.

24. МАВ и MCD—две секущие к одной окружности. Требуется:

1) определить CD, если МВ= 1 м, MD = 15 дм и CD = MA;

2) определить MD, если MA =18 см, АВ=12 см и MC:CD = 5:7;

3) определить АВ, если АВ= МС,  МА = 20 и CD= 11.

25. Две хорды продолжены до взаимного пересечения. Определить длину полученных продолжений, если хорды равны а и b, а их продолжения относятся, как т : п.

26. Из одной точки проведены к окружности секущая и касательная. Определить длину касательной, если внешний и внутренний отрезки секущей соответственно выражаются следующими числами: 1) 4 и 5; 2) 2,25 и 1,75; 3) 1 и 2.

27. Касательная равна 20 см, а наибольшая секущая, проведённая из той же точки, равна 50 см. Определить радиус круга.

28. Секущая больше своего внешнего отрезка в 21/4 раза. Во сколько раз она больше касательной, проведённой из той же точки?

29. Общая хорда двух пересекающихся окружностей продолжена, и из точки, взятой на продолжении, проведены к ним касательные. Доказать, что они равны.

30. На одной стороне угла А отложены один за другим отрезки: AВ=6 см и ВС =8 см; а на другой стороне отложен отрезок AD = 10 см. Через точки В, С и D проведена окружность. Узнать, касается ли этой окружности прямая AD, а если нет, то будет ли точка D первой (считая от A) или второй точкой пересечения.

31. Пусть будет: АВ—касательная и ACD—секущая той же окружности. Требуется:

1) определить CD, если АВ = 2 см и AD = 4 см;

2) определить AD, если  AC:CD = 4:5 и АВ=12 см;

3) определить АВ, если AB = CD и АС = а.

32. 1) Как далеко видно с воздушного шара (черт. 41), поднявшегося на высоту 4 км над землёй (радиус земли равен = 6370 км)?

2) Гора Эльбрус (на Кавказе) поднимается над уровнем моря на 5 600 м. Как далеко можно видеть с вершины этой горы?

3) М — наблюдательный пункт высотой А метров над землёй (черт. 42); радиус земли R, МТ= d есть наибольшее видимое расстояние. Доказать, что d = √2Rh + h2  

Замечание. Так как h2 вследствие своей малости сравнительно с 2Rh на результат почти не влияет, то можно пользоваться приближённой формулой d ≈  √2Rh .

33. 1) Касательная и секущая, выходящие из одной точки, соответственно равны 20 см и 40 см; секущая удалена от центра на 8 см. Определить радиус круга.

2) Определить расстояние от центра до той точки, из которой выходят касательная и секущая, если они соответственно равны 4 см и 8 см, а секущая удалена от центра на
12 см.

34. 1) Из общей точки проведены к окружности касательная и секущая. Определить длину касательной, если она на 5 см больше внешнего отрезка секущей и на столько же меньше внутреннего отрезка.

2) Из одной точки проведены к окружности секущая и касательная. Секущая равна а, а её внутренний отрезок больше внешнего отрезка на длину касательной. Определить касательную.

36. Из одной точки проведены к одной окружности касательная и секущая. Касательная больше внутреннего и внешнего отрезков секущей соответственно на 2 см и 4 см. Определить длину секущей.

36. Из одной точки проведены к окружности касательная и секущая. Определить их длину, если касательная на 20 см меньше внутреннего отрезка секущей и на 8 см больше внешнего отрезка.

37. 1) Из одной точки проведены к окружности секущая и касательная. Сумма их равна 30 см, а внутренний отрезок секущей на 2 см меньше касательной. Определить секущую и касательную.

2) Из одной точки проведены к окружности секущая и касательная. Сумма их равна 15 см, а внешний отрезок секущей на 2 см меньше касательной. Определить секущую и касательную.

38. Отрезок АВ продолжен на расстояние ВС. На АВ и АС, как на диаметрах, построены окружности. К отрезку АС в точке В проведён перпендикуляр BD до пересечения с большей окружностью. Из точки С проведена касательная СК к меньшей окружности. Доказать, что CD = СК.

39. К данной окружности проведены две параллельные касательные и третья касательная, пересекающая их. Радиус есть средняя пропорциональная между отрезками третьей касательной. Доказать.

40. Даны две параллельные прямые на расстоянии 15 дм одна от другой; между ними дана точка М на расстоянии 3 дм от одной из них. Через точку М проведена окружность, касательная к обеим параллелям. Определить расстояние между проекциями центра и точки М на одну из данных параллелей.

41. В круг радиуса r вписан равнобедренный треугольник, у которого сумма высоты и основания равна диаметру круга. Определить высоту.

42. Определить радиус круга, описанного около равнобедренного треугольника: 1) если основание равно 16 см, а высота 4 см; 2) если боковая сторона равна 12 дм, а высота 9 дм; 3) если боковая сторона равна 15 м, а основание 18 м.

43. В равнобедренном треугольнике основание равно 48 дм, а боковая сторона равна 30 дм. Определить радиусы кругов, описанного и вписанного, и расстояние между их центрами.

44. Радиус равен r, хорда данной дуги равна а. Определить хорду удвоенной дуги.

45. Радиус окружности равен 8 дм; хорда АВ равна 12 дм. Через точку А проведена касательная, а из точки В—хорда ВС, параллельная касательной. Определить расстояние между касательной и хордой ВС.

46. Точка А удалена от прямой MN на расстояние с. Данным радиусом r описана окружность так, что она проходит через точку А и касается линии MN. Определить расстояние между полученной точкой касания  и данной точкой А.

ОТВЕТЫ
Используются технологии uCoz