§ 14. Определение в треугольнике: медиан, биссектрис и радиусов
          описанного и вписанного кругов  .

Вычисление медиан.

1. Стороны треугольника равны а, b и с. Доказать, что медиана т_с, проведённая к стороне с, равна    ¹/₂√2 (а² + b²) — с² .

2. 1) Основание треугольника равно 22 дм, а боковые стороны 13 дм и 19 дм. Определить медиану основания.

2) Определить все медианы треугольника, в котором а = 2, b = 3, с = 4.

3. В треугольнике две стороны равны 11 и 23 и медиана третьей стороны равна 10. Найти третью сторону.

4. В треугольнике одна из сторон равна 26 дм, а её медиана равна 16 дм. Определить две другие стороны этого треугольника, если они относятся, как 3:5.

5. Медианы равнобедренного треугольника равны 15, 15 и 18. Найти площадь треугольника.

6. Основание треугольника равно 23; медианы боковых сторон равны 15 и 221 . Найти третью медиану.

7. 1) Построить треугольник по основанию и двум медианам, исходящим из концов основания.

2) Основание треугольника равно 10, а медианы двух других сторон равны 9 и 12. Найти площадь треугольника.

8. 1) Построить треугольник по трём медианам. 2) Медианы   треугольника   равны   9,   12  и  15.  Найти площадь треугольника.

Биссектрисы.

9. Квадрат биссектрисы угла при вершине треугольника равен разности между произведением боковых сторон и произведением отрезков основания. Доказать.

10. В треугольнике ABC определить биссектрису угла А при следующей длине сторон: 1) а = 7, b = 6, с = 8; 2) а = 18, b =15, с = 12; 3) а = 39, b = 20, с = 45.

11. В треугольнике две стороны равны 6 и 12, а угол между ними 120°.  Определить биссектрису данного угла.

12. По данным двум сторонам треугольника и биссектрисе угла между ними определить отрезки третьей стороны: b =20; с = 45; b_A = 24.

Радиусы вписанного и описанного кругов.

13. 1) Доказать, что в прямоугольном треугольнике   радиус   вписанного   круга равен половине разности между суммой катетов и гипотенузой.
2) Катеты равны 40 см и 42 см. Определить  радиусы кругов описанного и вписанного.

14. Определить относительное положение центра описанного около треугольника круга, если даны три стороны треугольника или отношение их: 1) 5, 8, 10; 2) 8, 7, 5;
3) 80, 315, 325.

15. Доказать, что во всяком треугольнике произведение двух сторон равно произведению диаметра описанного круга на высоту, опущенную на третью сторону.

16. Площадь треугольника равна S; его периметр равен а + b + с = 2р. Доказать, что:  1) радиус вписанного круга r = ^S/_p 2) радиус описанного круга R= ^abc/_4S

17. Для треугольника определить R и r при следующей длине сторон: 1) 13, 14, 15;
2) 15,13, 4; 3) 35, 29, 8; 4) 4, 5, 7.

18. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 6, высота равна 4. Найти радиус описанного круга.

19. В круг радиуса R вписан треугольник; один из его углов равен: 1) 30°; 2) 45°. Найти противолежащую сторону треугольника.

20. Доказать справедливость формулы:

21. Определить площадь треугольника по данному радиусу R описанного круга и двум углам, содержащим 45° и 60°.

22. Определить катеты прямоугольного треугольника, если они относятся между собой, как 20:21, а разность между радиусами кругов описанного и вписанного равна 17 см.

23. В круг радиуса R  вписан прямоугольник ABCD. Определить площадь этого прямоугольника, если дуга АВ содержит α градусов [α  равно: 1) 30°; 2)45°; 3) 60°; 4) 90°].

ОТВЕТЫ