§ 2. Угол прямой линии с плоскостью.

1.   Рёбра основания прямоугольного параллелепипеда имеют длину 4 см и 3 см; высота параллелепипеда равна 5 см. Найти его диагональ и угол диагонали с плоскостью основания.

2.   Диагональ   прямоугольного   параллелепипеда   составляет с плоскостью его  основания  угол   в  45°.   Стороны  основания равны 120 см и 209 см. Определить высоту   параллелепипеда.

3.   Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна h; апофема   наклонена  к плоскости   основания   под углом в 60°. Найти боковые рёбра.

4.  В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно b и образует с основанием пирамиды угол в 30°. Найти сторону основания.

5.  Наклонная  равна а. Чему равна проекция этой наклонной   на   плоскость, если   наклонная   составляет   с плоскостью проекции угол, равный: 1) 45°;  2) 60°; 3) 30°?

6.  Точка отстоит от плоскости на h. Найти длину наклонных, проведённых из неё под следующими углами к плоскости: 1) 30°; 2) 45°;  3) 60°.

7.  Отрезок длиной 10 см пересекает плоскость; концы его находятся   на   расстоянии   3 см и   2 см от плоскости. Найти угол между данным отрезком и плоскостью.

8.  Под каким углом к плоскости надо провести наклонный отрезок, чтобы его проекция была вдвое меньше самого отрезка?

9.   1) Из точки, отстоящей от плоскости на расстоянии а, проведены  две   наклонные,   образующие   с   плоскостью   углы в 45°, а между собой угол в 60°. Определить расстояние между концами наклонных.

2) Из точки, отстоящей от плоскости на а, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы в 45° и 30°, а между собой прямой угол. Определить расстояние между концами наклонных.

10.  Из  точки,   отстоящей  от  плоскости  на   а, проведены две наклонные под углом в 30° к плоскости, причём их проекции   составляют   между   собой  угол   в   120°. Определить расстояние между концами наклонных.

11.  В плоскости М находится прямая АВ. Из точки В проведены   по   одну   сторону   плоскости   перпендикулярные   к АВ прямые ВС и BD, отклонённые от плоскости М на 50° и 15°. Определить угол CBD.

12.    Если   в   равнобедренном   прямоугольном   треугольнике один   катет находится   на плоскости М, а другой катет образует с ней угол в 45°, то гипотенуза образует с плоскостью М угол в 30°. Доказать это.

13.   Если   наклонная   АВ составляет  с плоскостью М угол в 45°, а прямая АС, лежащая в плоскости М, составляет угол в 45° с проекцией наклонной АВ, то / ВAС=60°. Доказать это.

14.   Если в правильной треугольной пирамиде высота равна стороне основания, то боковые рёбра составляют с плоскостью основания угол в 60°. Доказать.

ОТВЕТЫ