§ 5. Многогранные углы.

1.    1)   Можно   ли   составить   трёхгранный   угол   с   такими плоскими углами: 1) 130°, 85° и 36°; 2) 100°, 70° и 40°; 3) 160°, 130° и 80°; 4) 82°, 56° и 26°; 5) 150°, 120° и 90°?

2) Можно ли составить выпуклый четырёхгранный угол из таких плоских углов: 1) 40°, 70°, 100° и 150°; 2) 150°, 30°, 70° и 40°; 3) 130°,  50°, 30° и 70°?

2.   Если в правильной   четырёхугольной  пирамиде   плоский угол при вершине равен 60°, то противолежащие боковые рёбра взаимно перпендикулярны. Доказать.

3.    Из  общей   внешней   точки   проведены к плоскости  две наклонные,   из   которых   одна   составляет   с   плоскостью  угол в 70°, а другая — в 15°.   Чему может быть равен   угол между этими наклонными?

4.   Каждый   плоский угол трёхгранного   угла равен 60°; на одном из рёбер отложен от вершины отрезок, равный 3, и из конца его опущен  перпендикуляр  на противолежащую   грань. Найти длину перпендикуляра.

5.   В трёхгранном угле SABC дано: /  BSC = 90°, /  ASB = /  ASС = 60° и SA = a. Требуется:

1)  найти расстояние от точки А до плоскости BSC;

2)  доказать, что ребро SA составляет с плоскостью BSC угол в 45°.

6.   Если в трёхгранном угле (черт.  13)   один  плоский угол BSC прямой, а два других угла ASB и ASC содержат по 60°, то плоскость ВАС, отсекающая от рёбер три равных отрезка, перпендикулярна к плоскости прямого угла. Доказать.

7.  В трёхгранном   угле два плоских угла по 45°, двугранный угол между ними прямой. Найти третий плоский угол.

8.   В  трёхгранном   угле   два   плоских   угла по 45°,   третий плоский угол 60°.   Найти   двугранный   угол,   противолежащий третьему плоскому углу.

9.   В трёхгранном угле два плоских угла по 60°, третий прямой. Найти угол   между плоскостью  прямого угла и противолежащим ребром.

10.   В  трёхгранном   угле   рёбра   взаимно   перпендикулярны. Внутри него из вершины проведён отрезок, проекция которого на каждое из рёбер равна 1.   Найти   его  проекции   на   грани. Сделать чертёж.

11.   В трёхгранном угле все плоские углы прямые. Внутри него дана точка на расстоянии 1 дм, 2 дм и 2 дм от его граней. Найти расстояние данной точки от вершины угла.

12.  В трёхгранном угле все плоские углы прямые. Внутри него из вершины   проведён отрезок   х,   проекции   которого на рёбра 2 см, 3 см и 6 см. Найти длину этого отрезка (черт.  14).

ОТВЕТЫ