§ 9. Пирамида.

1.  По данной стороне основания а и боковому ребру b определить высоту правильной пирамиды:  1) треугольной;  2) четырёхугольной; 3) шестиугольной.

2.  По данной стороне основания а и высоте h определить апофему   правильной   пирамиды:   1)  треугольной;   2)   четырёхугольной; 3) шестиугольной.

3.   Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 7 см, а сторона   основания равна   8 см. Определить боковое   ребро.

4.   Основанием пирамиды служит параллелограмм, у которого стороны  содержат   3 см и 7 см, а одна   из диагоналей 6 см; высота пирамиды, проходящая через точку пересечения диагоналей основания, равна 4 см. Определить боковые ребра пирамиды.

5.   Основанием  пирамиды служит равнобедренный треугольник, у которого основание равно 6 см и высота 9 см; боковые рёбра равны между собой, и каждое содержит 13 см. Определить высоту этой пирамиды.

6. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, у которого основание равно 12 см, а боковая сторона 10 см. Боковые грани образуют с основанием равные двугранные углы, содержащие по 45°. Определить высоту этой пирамиды?

7. Основание пирамиды —прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см; каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см.  Вычислить высоту пирамиды.

8. В правильную четырёхугольную пирамиду вписан куб так, что четыре его вершины находятся на боковых рёбрах пирамиды, а остальные четыре находятся в плоскости её основания. Определить ребро куба, если в пирамиде сторона основания равна а, а высота равна h.

Сечения пирамиды.

9. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 14 см, а длина бокового ребра 10 см. Определить площадь диагонального сечения.

10.   В правильной шестиугольной пирамиде высота равна h, а   сторона   основания   а.   Определить   площади   диагональных сечений.

11.   В правильной треугольной пирамиде по стороне основания а и боковому ребру b определить площадь   сечения, проведённого через боковое ребро и высоту пирамиды.

12.  (Устно.)  В   пирамиде   проведено   сечение   параллельно основанию через середину высоты. Площадь основания равна Q. Определить площадь  сечения.

13.   Высота пирамиды разделена на четыре равные части, и через точки деления  проведены плоскости, параллельные основанию. Площадь основания равна 400 кв. ед. Определить площади полученных сечений.

14.   Высота   правильной   пирамиды   разделена   на п равных частей, и через точки деления проведены сечения, параллельные основанию.   Площадь   основания   Q.   Найти   площади   сечений (Q = 400, n = 5).

15.   В  пирамиде   сечение,   параллельное   основанию,   делит высоту в отношении 3:4 (от вершины к основанию), а площадь сечения   меньше   площади   основания на 200 см².   Определить площадь основания.

16.   На каком расстоянии от вершины пирамиды с высотой h надо провести сечение параллельно основанию, чтобы площадь сечения равнялась: 1) половине площади основания; 2) ¹/₃, ¹/₅  и вообще ¹/_n площади основания?

17.   1) Высота   пирамиды   равна   16 м;   площадь основания равна   512  м².   На   каком  расстоянии от основания находится сечение, параллельное основанию, содержащее 50 м²?

2) В пирамиде площадь основания равна 150 см², площадь параллельного сечения 54 см², расстояние между ними равно 14 см. Определить высоту пирамиды.

18.  В правильной треугольной пирамиде через сторону основания проведена плоскость, перпендикулярная к противолежащему боковому ребру. Определить площадь получившегося сечения, если сторона основания равна а, а высота пирамиды h (a = 1; h = 4).

19. Сторона основания правильной   четырёхугольной   пирамиды равна а. Боковое ребро образует с высотой угол в 30°. Построить сечение, проходящее через вершину основания перпендикулярно к противоположному ребру, и найти  его  площадь   (черт.   21).

ОТВЕТЫ