§11. Усечённая пирамида.

1.  Высота правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равна   7 см.   Стороны   оснований   10 см  и   2 см.   Определить боковое  ребро пирамиды.

2.  Стороны оснований правильной треугольной усечённой пирамиды 4 дм и 1  дм. Боковое   ребро  2 дм. Найти  высоту.

3.   Определить    высоту    правильных   усечённых    пирамид: 1) треугольной;   2)   четырёхугольной;  3) шестиугольной,   если даны   боковое   ребро   с и стороны а и b нижнего  и   верхнего оснований.

4.   В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде   высота равна 63 см, апофема равна 65 см, а стороны оснований относятся как 7:3. Определить эти стороны.

5. (Устно.) Сколько диагоналей можно провести в   усечённой пятиугольной пирамиде? в усечённой n-угольной пирамиде?

6.   В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде высота равна 2 см, а   стороны   оснований   3 см   и   5 см.   Определить диагональ этой усечённой пирамиды.

7.  Определить стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды, если её высота равна 7 см, боковое ребро 9 см и диагональ 11  см.

8.   Диагонали АС₁ и А₁С правильной четырёхугольной усечённой    пирамиды   ABCDA₁B₁C₁D₁   взаимно   перпендикулярны; каждая из них равна 2. Найти высоту.

9.   Диагонали   данной   правильной четырёхугольной усечённой   пирамиды   перпендикулярны   к   боковым   рёбрам;   сторона нижнего   основания   равна 9 см и боковое   ребро   равно 8 см. Определить   сторону   верхнего   основания,   высоту   усечённой пирамиды и расстояние от точки пересечения её диагоналей до плоскости нижнего основания.

10.   В   правильной    четырёхугольной    усечённой   пирамиде сторона большего основания а,  сторона меньшего b.   Боковое ребро образует, с основанием угол в 45°. Найти боковое ребро.

11. Стороны основания правильной треугольной усечённой пирамиды 2 см  и 6 см. Боковая грань образует с бoльшим основанием угол в 60°. Найти высоту.

Сечения.

12. Высота правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равна 4. Стороны оснований равны 2 и 8. Найти площади диагональных сечений.

13.   В правильной усечённой треугольной пирамиде сторона большего  основания   а,   сторона   меньшего  b.   Боковое ребро образует с основанием  угол  в   45°.   Провести  сечение  через боковое ребро и ось и найти его площадь.

14.   Высота правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равна 4 см, диагональ 5 см. Найти площадь диагонального сечения.

15.   В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде площади   оснований  Q   и   q ,   а   боковое   ребро составляет с плоскостью нижнего   основания   угол в 45°.  Определить площадь диагонального сечения.

16.   В правильной треугольной усечённой пирамиде стороны оснований равны 8 м и 5 м, а высота 3 м.  Провести сечение через сторону нижнего   основания и  противоположную ей вершину верхнего основания. Определить площадь сечения и двугранный угол между сечением и нижним основанием.

17.   В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде стороны   оснований   равны 6 см  и 8 см, а   боковое  ребро 10 см. Провести сечение через конец диагонали  меньшего  основания перпендикулярно к этой диагонали и определить его площадь,

18.   Соответственные стороны оснований усечённой пирамиды относятся как 13:17, а периметр среднего сечения равен 45 м. Определить периметры оснований.

19.   Площади оснований усечённой пирамиды 9 см² и 25 см². Найти площадь среднего сечения.

20.  Пусть будет   в   какой-нибудь   усечённой  пирамиде   Q₁ и Q₂—площади оснований и М—площадь её среднего сечения.

Доказать, что

21.  Даны   площади   оснований   усечённой   пирамиды:   2 м² и 98 м². Определить   площадь   параллельного сечения, проведённого через середину высоты.

22.  Высота усечённой пирамиды равна h , а площади оснований Q и q. На каком расстоянии от верхнего основания находится параллельное ему сечение, площадь которого есть средняя пропорциональная между площадями оснований?

23.   Основания усечённой пирамиды содержат 18 м² и 128 м². Определить площадь параллельного сечения, делящего высоту в отношении 2:3 (начиная от меньшего основания).

24.  Высота усечённой  пирамиды  разделена на три  равные части и через точки деления проведены плоскости, параллельные основаниям. Определить площади полученных сечений, если площади оснований Q и q (Q =32; q = 2).

ОТВЕТЫ