§ 21. Объём шара и его частей.

Шар.

1. (Устно.) 1) Радиус шара 1 м. Найти объём шара.

2) Во сколько раз увеличится объём шара, если радиус его увеличить в 3 раза? в 4 раза?

2. Чугунные шары регулятора весят каждый 10 кг. Найти диаметр каждого шара. Удельный вес чугуна 7,2.

3.   1) Требуется перелить  в один шар два  чугунных шара с диаметрами d₁ = 25 см и  d₂ = 35 см.  Найти диаметр нового шара. (Угар во внимание не принимается.)

2) Радиусы трёх шаров: 3 см, 4 см и 5 см. Определить радиус шара, объём которого равен сумме их объёмов.

4.  Имеется кусок свинца весом в 1 кг. Сколько шариков диаметром в 1 см можно отлить из куска? Удельный вес свинца 11,4.

5.   (Устно.)   1)   Свинцовый   шар,   диаметр   которого   20 см, переливается в шарики с диаметром в 10 раз меньшим. Сколько таких шариков получится? Какое данное в задаче лишнее?

2) Нужно отлить свинцовый шар с диаметром в 3 см. Имеются свинцовые шарики с диаметром в 5 мм. Сколько таких шариков нужно взять?

6.   Свинцовый шарик,   диаметр   которого   равен  0,012 м, и полый стеклянный шар с диаметром  в 0,160 м уравновешены на коромысле весов, т. е. в воздухе имеют равный вес. Если перенести всю эту систему под колокол воздушного насоса и выкачать из-под колокола весь воздух, то какой шар опустится и как велика будет разница в весе шаров? Прибор этот в физике называется бароскопом. Удельный вес воздуха 0,0013.

7.   1) Из   деревянного   цилиндра,   в   котором   высота равна диаметру основания (равносторонний цилиндр), выточен  наибольший шар. Определить,  сколько   процентов материала сточено.

2) Из куба   выточен   наибольший шар.   Сколько процентов материала сточено?

8.   Если радиусы трёх шаров относятся как 1 : 2 : 3, то объём большего шара в три раза   больше суммы объёмов меньших шаров. Доказать.

9.   Внешний   диаметр   полого шара 18 см;   толщина   стенок   3 см.   Найти объём стенок.

10.   Внутренний диаметр чугунного полого   шара 8 см, а внешний 10 см. Определить   вес   шара.   Удельный вес чугуна 7,3.

11.  Объём  стенок полого шара рамен 876π см³, а толщина стенок 3 см. Определить радиусы его поверхностей: наружной и внутренней.

12.   В основание равностороннего цилиндра радиуса R вписан квадрат, и на нём построена   правильная четырёхугольная пирамида с равносторонними боковыми гранями. Требуется определить   радиус   шара,   объём   которого   равен   сумме   объёмов цилиндра и пирамиды.

13.   Сосуд имеет форму опрокинутого   конуса, осевое сечение   которого — равносторонний   треугольник.   В   него   брошен железный  шар   радиуса   R. В сосуд   налита вода так, что поверхность воды   касается погружённого в неё  шара. На какой высоте будет вода,   если вынуть шар?

14.   Резервуар для воды состоит из полушара радиуса R и цилиндра с таким же радиусом основания (черт. 41). Какой высоты h должна быть цилиндрическая часть его, чтобы объём всего резервуара  равнялся 200 м³?   (Размеры   даны   в  сантиметрах.)

Шаровой сегмент.

15.  Дан шар. Плоскость, перпендикулярная к диаметру, делит его на две части: 3 см и 9 см. На какие части делится объём шара?

16. Какую часть   объёма шара   составляет объём сферического сегмента, у которого высота равна  0,1 диаметра шара?

17.   Высота шарового сегмента составляет 0,4 радиуса шара. Какую часть составляет  объём этого сегмента от объёма цилиндра, имеющего те же основания и высоту?

18.  Газовый резервуар, размеры которого даны на чертеже 42 в метрах, имеет форму цилиндра, на который насажен шаровой сегмент. Определить ёмкость резервуара.

19.   Два равных шара   расположены так,  что. центр одного лежит  на  поверхности  другого.   Как   относится объём общей части шаров к объёму целого шара?

20.  Диаметр шара, равный   30 см, служит осью цилиндра, у которого радиус основания равен 12 см.   Определить объём части шара, заключённой внутри цилиндра.

21.  Литейный ковш имеет продольный разрез, показанный на чертеже 43. Внутренняя и внешняя поверхности — сферические (размеры даны в миллиметрах). Удельный вес7,9. Найти вес ковша.

22. Радиусы   поверхностей   двояковыпуклого   сферического стекла 10 см и 17 см. Расстояние между их центрами 21 см. Найти объём стекла.

Шаровой сектор.

23. Радиус  шарового   сектора   R, угол в осевом сечении 120°. Найти объём.

24.   Определить объём шарового сектора, если радиус окружности его основания  равен 60 см, а радиус шара равен 75 см.

25.   Круговой сектор с углом в 30° и радиусом R вращается около одного   из   боковых радиусов.   Определить  объём полученного тела.

26.   Полукруг радиуса R, разделённый двумя радиусами на три равные части, вращается вокруг диаметра.  Найти объёмы тел, полученных от вращения каждой части.

27. Если в   сферическом   секторе   площадь  осевого сечения равна ¹/₃  площади   большого   круга,   то   его   объём  равен   ¹/₄ объёма шара. Доказать.

Шаровой слой.

28.  Радиусы оснований шарового слоя 3 м и 4 м, а радиус его шаровой поверхности 5 м. Найти объём слоя. (Два случая.)

29.  В шаре, радиус которого равен 65 см, проведены по одну сторону центра две параллельные  плоскости,   отстоящие  от центра на 16 см и 25 см. Определить объём части шара, заключённой между ними.

30.   Шаровой   слой и цилиндр   имеют   общую высоту и общие основания. Объём тела, заключённого между их боковыми поверхностями, равен 36π см³. Найти их высоту.

31.  Доказать, что объём   тела,  полученного при вращении кругового сегмента с хордой а около диаметра, параллельного этой хорде, не зависит от величины радиуса круга.

ОТВЕТЫ