ВВЕДЕНИЕ.

§ 1. Предмет тригонометрии. Слово тригонометрия в переводе с греческого языка обозначает измерение треугольников. По своему содержанию тригонометрия тесно примыкает к геометрии и является только ее разросшейся ветвью.

В геометрии стороны и углы треугольника, рассматриваются большей частью независимо одни от других, без установления точных зависимостей между величинами сторон и углов. Исключения из этого встречаются, но редко (например теорема о том, что катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы). Напротив, в тригонометрии вывод этих зависимостей — главная цель. Теоремы о зависимости между сторонами и углами приведены в стройную систему, проникнутую единым методом.

Для исследования зависимостей между длинами и углами в тригонометрии употребляются особые вспомогательные величины—тригонометрические функции: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс.

Тригонометрия распадается на две части: собственно тригонометрию и гониометрию — учение о свойствах тригонометрических функций.

Тригонометрия имеет большое применение в практике: при геодезических работах — определение высот и расстояний, съемка планов, триангуляция; в астрономии—определение высот и азимутов светил, склонения и прямого восхождения, вообще небесных координат; а знание небесных координат ведет к вычислению географических координат; в механике — проектирование силы на ось, направление равнодействующей, законы периодического движения; в машиноведении — расчет нарезок, зубчатых колес и
т. п.

Возникла тригонометрия в Греции в связи с астрономией; астрономия в свою очередь развивалась под влиянием потребностей мореплавания и земледелия: для безопасности морских путешествий требовалось определять по звездам правильный курс корабля; для земледелия требовался точный календарь, который могла дать астрономия, основанная на математике, и в частности на тригонометрии.

Автором   первых   тригонометрических   таблиц   считается  Гиппарх,  живший  во II в. до нашей эры. Таблицы Гиппарха содержали длины хорд для различных центральных углов.

За 100 лет до нашей эры ученый Менелай открыл основы сферической тригонометрии. Клавдий Птоломей, знаменитый автор докоперниканской системы мира, в своей книге Syntaxis Mathematica поместил таблицы длины хорд в отношении к радиусу, принятому за единицу. Радиус он делил на 60 частей, каждую из частей — еще раз на 60 частей и еще раз на 60 частей; эти части назывались partes minutae primae и paries minutae secundae, откуда и произошли наши названия: минуты (первые „уменьшенные части") и секунды (вторые „уменьшенные части"). Таблицы Птоломея содержали величину хорд для центрального угла в 1°, 1¹/₂°, 2°, 2¹/₂°....

В средние века тригонометрия развивалась в Индии. Индусы употребляли половину хорды, т. е. линию синуса; они же ввели косинус. Индусам была известна формула
sin² α + cos² α  = 1 (которую, впрочем, не писали буквами, а выражали словами), приведение синуса и косинуса тупого угла и таблицы синусов.

В IX и X вв. арабские ученые ввели тангенс и составили более точные таблицы синусов. Развитие тригонометрии у арабов объясняется тоже потребностями астрономии и мореплавания, так как арабы вели большую торговлю по Средиземноморскому побережью. В Европе первым писателем по тригонометрии был английский ученый Брадвардин (XIII и XIV вв.). Систематический курс по тригонометрии написал в XV в. немецкий ученый Иоганн Мюллер из Кенигсберга, писавший под именем Региомонтан. В книге "О треугольниках всех видов" он приводит решение плоских и сферических треугольников. Региомонтан излагает тригонометрию уже как самостоятельную науку, независимую от астрономии.

С XVI в., после изобретения Виета буквенного алгебраического счисления, формулы тригонометрии принимают современный алгебраический характер. Соединение тригонометрии с алгеброй и анализом дало новый толчок к развитию всей математики, неразрывно связанной со всем техническим прогрессом. Из других ученых работали по тригонометрии Виета, Непер (изобретатель натуральных логарифмов), Снеллиус (автор триангуляционной съемки), Потенот и гениальный математик Эйлер; последнему принадлежит введение тригонометрических функций с помощью тригонометрического круга.

§ 2. Понятие о функции. Существуют переменные величины, связанные между собою так, что каждому значению одной из них соответствует определенное значение другой. Таковы, например,  переменные  величины у и х в следующих равенствах:

y = a + x ;     у = х²;     у = √x    и т. д.;

таковы же:  сторона  квадрата  и его площадь, радиус шара и его объем и т. д.

Переменная величина, значении которой соответствуют значениям другой переменной величины, называется функцией. Так, например, можно сказать, что площадь круга есть функция его радиуса; действительно, с изменением длины радиуса изменяется и площадь круга, и при этом каждому значению радиуса соответствует определенное значение площади круга (и наоборот: радиус круга мы назовем функцией его площади, если будем назначать площадь и по ней определять радиус).

Та величина, в зависимости от которой изменяется функция, называется аргументом функции. Так, если равенство   у = х² служит для определения у по данному х, то х есть аргумент, а  у — функция; так же в равенстве у = lg N имеем: N есть аргумент,
у — функция. (Вообще аргумент — независимое переменное, функция— переменное зависимое.)

§ 3.Измерение дуг и углов. Как известно из геометрии, углы определяются с помощью дуг.

Если дуга служит для определения угла, то ее выражают или в частях окружности или в частях радиуса .

Первый способ нагляднее и применяется в практических измерениях (на угломерных инструментах), второй предпочитают в теоретических вопросах.

Первый способ дает для дуги и угла градусное выражение, известное из геометрии.

Второй способ состоит в том, что дугу выражают отвлеченным числом, показывающим ее отношение к радиусу; если, например, сказано "величина дуги равна 2,43", то это значит, что выпрямленная дуга содержит 2,43 радиуса; полуокружность  по  этому способу выразится отношением πR : R, т. е. числом π, а следовательно, четверть окружности — числом ^π/₂ и т. п.

Такое выражение дуги мы будем называть радианным.

Чтобы при этом способе центральный угол выразился тем же числом, что и его дуга, надо  чтобы, угловая единица соответствовала дуге длиной в  р а д и у с.
Такой угол называется радианом. Таким образом мы можем сказать: радианное выражение угла  есть его отношение к радиану: например, выражение "угол, равный ³/₂π " понимается как "угол, равный ³/₂π радианов".

Так  как  в  длине  окружности  радиус   содержится  2π   раз, то градусная  величина  радиана   (и дуги, равной радиусу) есть ^360°/_π, это равно 57°17'44",8 (с точностью до 0,05").

Полезно запомнить еще следующее. Отвлеченное выражение всей окружности есть
2πR : R, т. е, число 2π, а ее градусное выражение есть 360°; отсюда получаются следующие соответствия:

Выведем теперь формулы длф перехода от градусного выражения к радианному и обратно.

Обозначим градусное выражение какой-нибудь дуги или угла через α , а радианное через а. Так как для полной окружности градусное выражение есть 360°, а радианное 2π, то получим пропорцию:

^α/_360° =  ^а/_2π       или    ^α/_180° =  ^а/_π 

отсюда:

а = π • ^α/_180°                             (1)

α  =180° • ^а/_π                             (2)

Пример. Найти радианное выражение угла 67°30'.

По формуле (1), заменяя α  через 67°30', найдем:

х =  π • ^67°30'/_180°  = ³/₈ π

если же подставить  сюда  приближенное  значение π, то получим х = 1,17810, с точностью до половины одной стотысячной.

Без применения формулы можно получить х постепенно из следующих равенств:

360°... 2π ;    1°...^2π/₃₆₀ ;  (67°30' = 67¹/₂°...^2π/₃₆₀ • 67¹/₂ = ³/₈ π).

§ 3а. Длина дуги. Если обозначить через r радиус окружности, через l — длину дуги, а через а — радианное измерение соответствующего центрального угла, то согласно определению радианного  измерения получим:

а = ^l/_r,   откуда   l = ar,

т. е. длина дуги равна радиусу, умноженному на радианное измерение дуги.

Эта формула часто употребляется в физике и технике.

Для вычислений, связанных с радианной мерой, следует пользоваться таблицами для перевода градусов в радианы и обратно. (В таблицах Брадиса это таблица VII, в таблицах  Пржевальского — XI.)