О РЕШЕНИИ ТРЕУГОЛЬНИКОВ.

X. Косоугольные треугольники.

Решение косоугольных треугольников
с помощью четырехзначных логарифмических таблиц.

. § 112. 1-й случай. Даны сторона и два  угла (а, В, С). Найтин А,b, с, S.

. Решение производится по тому же плану, что и при натуральных таблицах, но при окончательном вычислении формула логарифмируется и вычисляется по таблицам логарифмов.

Числовой пример.   Дано:   а = 1235;   B = 37°32';    С = 115°18'.

Решение.

§ 113. 2-й случай.   Даны  две   стороны   и. угол  между  ними (a,b,C).
Найти А, В, с, S.

Числовой пример. a = 42,53; b = 29,81; С = 47°14'

1)  Прежде всего определим углы А и В. Воспользуемся теоремой тангенсов:

Найдем требуемые величины:

a + b = 42,53 + 29,81 = 72,34;
a — b = 42,53 — 29,81 = 12,72;
A + В= 180° — 47°14' = 132°46';

Находим   угол   по таблице логарифмов тангенсов:

= 21°55'.

Теперь мы знаем полуразность углов Аи В и их полусумму в виде системы двух уравнений с двумя неизвестными; складывая обе части этих уравнений, находим:

2)  Для определения стороны с воспользуемся теоремой синусов:

§ 114. 3-й случай. Даны три стороны (а, b, с). Найти А, В, С и S. Углы определяются по формулам тангенса половины угла треугольника; площадь — по формуле Герона
S =√ р(р—а)(р—b)(р—с).

Числовой пример. а =15,37; b = 21,42; c=13,83.

1) Пишем формулу для опрэделения угла A:

определяем р и производим все указанные формулой действия:

2)  Определяем угол В:

3)  Определяем угол С:

Проверка. A + В + C = 45°42' + 94°12' + 40°6' = 180° (однако небольшая погрешность в сумме углов возможна вследствие приближенности вычислений).

4)  Площадь определяем по формуле Герона:

S =√ р(р—а)(р—b)(р—с);

lg S = ¹/₂  [ lg p + lg( р — а) + lg ( р — b) + lg ( р — c)].

Подставляя все уже найденные логарифмы и вычисляя, получим:
lg.S = 2,0251;    S = 105,9 (кв. единиц).

§ 115. 4-й случай. Даны две стороны и угол, противолежащий одной из них (а, b, А).

Решение. Из  пропорции ^sin B /_{sin A}  = ^b/_a  найдем sin B = ^{b • sinA}/_a, с помощью чего определим угол В; далее будем иметь:

C = 180° — ( A + B);    c = ^{a • sinC}/_{sin A} ; S = ^ab/₂ sin C .

Обратим внимание на вычисление угла В (по sin B); Так как в косоугольном треугольнике вообще угол может быть и острым и тупым, то величину В надо искать между 0 и 180°, а в этих границах одному и тому же синусу соответствуют два угла: острый, находимый из таблиц, и тупой, дополняющий его до 180° (черт. 10)

Поэтому возникает сомнение, будут ли для треугольника пригодны оба угла или же только один из них и какой именно. Этот вопрос решается уже сравнением данных сторон, так как в треугольнике тупой угол может быть только против большей стороны.

Ввиду сказанного будет полезно сначала исследовать задачу по сравнительной величине данных сторон. (Предполагается, что а и b различны: при а = b имеем В =А.)

Исследование. I. Случай а > b. При этом данный угол А, как лежащий против большей из известных сторон, может быть острый и тупой.

В равенстве sin B = ^{b • sinA}/_a  рассмотрим   правую   часть.  

 Если b < а, то и подавно b• sinA < a, а потому получится sin B < 1 (или lg sin B < 0), и, следовательно, задача будет возможна независимо от величины угла А. Определяемый угол В в этом случае может быть только острым (но не тупым), так как сторона против него не есть большая.

II. Случай а < b. При этом данный угол А должен быть острым, так как он лежит против стороны, которая менее другой.

Обращаясь  к  равенству sin B = ^{b • sinA}/_a, заметим, что если b > a, то b• sinA  либо более а, либо равно а, либо менее а, в зависимости от величины угла А. Рассмотрим каждое предположение отдельно.

1)  b• sinA > а, тогда sin B> l  (или lg sin B>0),  и задача будет невозможна.

2)  b • sin А = а; тогда sin B = l (или  lg sin B = 0),  и, следовательно, B = 90°,   т. е.  треугольник   оказывается  прямоугольным.

3)  b • sin А < а; тогда sin B < 1 (или lg sin B < 0), и вопрос будет (как в п. 1) о двух углах, соответствующих такому синусу. Для треугольника в настоящем случае надо принять не только острый угол, но и тупой, потому что сторона b более а, а сторона с не может влиять на выбор угла В, так как сама определяется в зависимости от него. Соответственно двум значениям угла В получим также по два значения для С, с и S.

Итак, на основании сделанного исследования заключаем (относительно случая
lg sin В < 0): если определяемый угол В лежит против меньшей из данных сторон, то надо взять только острый угол; если же он лежит против большей стороны, то задача допускает два решения.

Результаты предыдущего исследования вполне совпадают с тем, что дает построение треугольника по тем же самым данным (в этом сравнении b • sin А будет выражать высоту треугольника относительно стороны с). Чертеж 46 соответствует случаю II, 3): искомые треугольники суть /\  АСВ₁ и /\  AСB₂, причем  /  АВ₁С +  /  АВ₂С = 180°.

Предоставляем самому учащемуся сделать построение в остальных случаях.

Числовой пример. I. Дано: a = 700; b = 650; A = 40°25';

1)  Вычисляем угол В:

2)  Вычисляем угол С:

C = 180° — (40°25' + 37°) = 102°35'.

3} Вычисляем сторону с:

II. Дано: а = 4; b =7; A = 30°.

1) Вычисляем угол В:

2)  Угол С тоже может иметь два значения:

С₁ = 180° — А — В₁;    С₂ = 180° — А — В₂;

С₁=180°—30°— 63° 3' = 88°57'; С₂=180°—30°— 118°57' =31°3',

3)  Точно так же сторона с будет иметь два значения:

с₁ = 7,999;   с₂ = 4,126.