О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ.

(ГОНИОМЕТРИЯ.)

I. Тригонометрические функции острого угла.

§ 19. Примеры вычисления тригонометрических функций по данному углу.

Не касаясь общего приема, разберем здесь несколько случаев, легко решаемых с помощью геометрии.

1) Дан угол 30° ( ^π/₆ )   (черт. 13).

Дополним линию синуса до хорды; тогда получим сторону правильного вписанного шестиугольника, а она равна  радиусу; таким образом

BC = ^R/₂

и, следовательно,

sin30° = ¹/₂.

Остальные пять функций найдем по формулам зависимости:

далее, поступая, как в первом примере, найдем:

cos60° = ¹/₂,    tg60° = √3 ,    ctg60° = ¹/_√3

Возьмем угол 45° (^π/₄). Применяя формулы § 17, будем иметь:

sin 45° = cos 45°,    tg 45° = ctg 45°.    

 Если    sin 45° = cos 45°,    то tg 45° = 1, а следовательно, и ctg 45° = 1. Далее получим:

а следовательно, и cos 45° =  ¹/_√2  .

4) Если угол равен 18° ( ^π/₁₀) , то линия синуса равна половине стороны правильно  вписанного десятиугольника,  а  так как  выражение этой стороны в радиусе есть
-„-(У 5 — 1),то линия синуса будет равна ^R/₂ (√5 — 1), и  потому
sin 18° = ^R/₄ (√5  — 1).

§ 20. Зависимость между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

Покажем теперь на примере, как посредством тригонометрических функций выражается зависимость между сторонами и углами треугольника. Возьмем для этого прямоугольный треугольник как случай самый простой и основной.

Условимся сначала в обозначениях. Будем обозначать длину сторон треугольника буквами а, b и с, а величину противолежащих им углов соответственно буквами А, В и С; при этом будем прeдполагать, что все стороны измерены одной и той же единицей. В прямоугольном треугольнике прямой угол будем обозначать буквой С.

Обратимся теперь к выводу формул.

I. Описав на чертеже 14 радиусом с дугу BD, будем  иметь по § 5:

.   ^a/_c = sin A                          (1)

и

^b/_c = cos A,                         (2)

т. е. от деления катета на гипотенузу получается:
1) синус острого угла, если делится противолежащий этому углу катет, или
2) косинус острого угла, если делится, прилежащий катет.

II. Деля равенство (1) на равенство (2), а затем обратно, найдем:

^a/_b = tg A;                                       (3)

^b/_a = ctg A ,                                     (4)

т. е. от деления катета на катет получается:
1) тангенс острого угла, если делится противолежащий катет, или
2) котангенс острого углз,  если делится   прилежащий катет.

§ 21. Из равенства (1) § 20 следует: a = c • sin A, но sin А можно заменить, по § 17, через cos B, так как А+ В = 90°; тогда будем иметь a = c • cos B.

Таким образом: катет равен гипотенузе, умноженной на саинус противолежащего катету угла или на косинус прилежащего.

Из равенства (3) в § 20 следует: a = b • tgA, а заменяя tg A через ctg B, получим еще
a = b • ctg В.

Таким образом: катет равен другому катету, умноженному на тангенс угла, противолежащего первому катету, или на котангенс угла, прилежащего к первому катету.

С помощью равенств: ^a/_c = sin A   и sin A = cos В получим:

с = ^a/_{sin A} =  ^a/_{cos B}

Таким образом: гипотенуза равна катету, разделенному на синус противолежащего ему угла или на  косинус прилежащего.

§ 22. Примеры, поясняющие решение треугольников. Понятие o таблицах.

Для решения треугольников, кроме тригонометрических формул, необходимо иметь еще таблицы, чтобы по данному углу находить значение тригонометрической функции и, обратно, по данной тригонометрической функции находить угол. Такие таблицы составляют весьма важную практическую принадлежность тригонометрии. Наиболее известны "Четырехзначные математические таблицы" В. Брадиса и "Пятизначные таблицы" Е. Пржевальского.

Пример 1. Положим, что в прямоугольном треугольнике ABC дано:
АВ = 5 см и / А = 24°; требуется решить треугольник, т. е. вычислить ВС, АС и / В.

Решение. Имеем B = 90° — А = 66°. Далее находим по § 21: a = c • sin A = 5 • sin24° и
b = c • cos A = 5 • cos24°; подставляя теперь из таблицы sin 24° и cos 24°, получим:
а = 5 • 0,407 = 2,035 и b = 5 • 0,914 = 4,57.
Таким образом, ВС = 2,035 см и АС = 4,57 см.

Сделаем поверку: a² = 2,035² = 4,1412; b² = 4,57² =20,8849; следовательно,
a² + b² = 25,0261, а должно быть 25. Это несовпадение объясняется тем, что взятые нами значения функций были только приближенные.

Пример 2. Положим, что в прямоугольном треугольнике даны катеты: а =14 и b =15;
требуется определить гипотенузу и углы.

Решение. По § 20  имеем:  tg A = ^a/_b = ¹⁴/₁₅;   вычислив это отношение с тремя десятичными знаками, получим tg A = 0,933; этому тангенсу в таблице соответствует угол 43°; таким образом, А = 43°, а следовательно, В = 90° — А = 47°. Найдем теперь гипотенузу, причем сделаем это тригонометрическим способом; по § 21 имеем:
с = ^a/_{sin A} = ¹⁴/_{sin 43°} ; подставляя  из таблицы   sin 43°, найдем с = 14 : 0,682 = 20,528;

Сделаем поверку; по теореме Пифагора найдем:

с = √14²+ 15²   = 20,518,

а ранее получено 20,528.

Поверка показывает, что произведенные вычисления не имеют значительной точности. Чтобы достигнуть большей точности, надо взять более подробные таблицы и с большим числом десятичных знаков; но тогда вычисления становятся уже затруднительны, и потому предпочитают производить эти вычисления при помощи логарифмов; а в таком случае и в таблицах выгоднее иметь не самые тригонометрические функции, а их готовые логарифмы; так в практике и поступают, таблицы же натуральных тригонометрических величин¹⁾ употребляются сравнительно редко.

¹⁾В отличие от логарифмированных значений функции ее неизмененные значения называются натуральными.

В предыдущих  примерах  мы  вовсе  не  касались косоугольных треугольников. Их решение легко сводится на решение прямоугольных треугольников, если провести высоту, но, как увидим впоследствии, выгоднее пользоваться для  них особыми  теоремами.