О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ.
(ГОНИОМЕТРИЯ.)
II. Тригонометрические функции углов от 90 до 360°.
§ 23. Предварительные замечания. Вместо четверти круга, как было раньше
(черт. 1, стр. 7), возьмем теперь полный круг (черт. 15), проведем неподвижный радиус ОА и перпендикулярный к нему радиус ОМ и продолжим их за центр.
Диаметры AN и МР будем называть для краткости горизонтальным и вертикальным, а полученные четверти круга (квадранты) будем считать так:
АОМ — первая четверть, MON — вторая четверть, NOP—третья четверть и РОА — четвертая четверть.
Углы и дуги будем отсчитывать так же, как и прежде, т. е. от общего начала ОА, вверх от него (против стрелки часов).
§ 24. Построение тригонометрических линий.
Те определения тригонометрических линий, которые даны в § 5 для острого угла, распространим теперь и на углы, большие прямого.
Возьмем тупой угол АОВ (черт. 16).
Линией синуса для него будет перпендикуляр ВС, опущенный из конца подвижного радиуса на продолжение неподвижного; линией косинуса будет ОС. Линию тангенса получим, если из точки А проведем касательную и продолжим радиус ОВ так, чтобы они пересеклись; для этого придется касательную направить вниз от точки А, а радиус
ОВ продолжить за центр по OD; линией тангенса будет тогда АО. Для получения линии котангенса надо из точки М провести касательную до
пересечения с продолженным радиусом ОВ; а чтобы это пересечение произошло, касательная должна идти влево от точки М; линией котангенса будет тогда ME. Линиями секанса и косеканса будут OD и ОЕ.
Точно так жe строятся тригонометрические линии и в том случае, когда подвижной радиус находится в III или IV четверти (черт. 17 и 18).
Сравнивая чертеж 15 с тремя другими чертежами, мы замечаем, что однородные тригонометрические линии расположены на них не одинаково, а именно:
1) линия синуса (ВС) в I и II четвертях лежит выше горизонтального диаметра, а в III и IV — ниже его;
2) линия косинуса (ОС) в I и IV четвертях лежит направо от центра, а во II и III — налево от него;
3) линия тангенса (AD) в I и III четвертях направлена от точки касания вверх, а во II и IV — вниз;
4) линия котангенса (ME) в I и III четвертях направлена от точки касания вправо, а во II и IV — влево;
5) линия секанса (OD) в I и IV четвертях идет от центра в направлении подвижного радиуса, а во II и III — в направлении, противоположном подвижно«у радиусу;
6) линия косеканса (ОЕ) в I и II четвертях идет от центра в направлении подвижного радиуса, а в III и IV — в направлении, противоположном подвижному радиусу.
Таким образом, при увеличении угла от 90 до 360° каждая тригонометрическая линия принимает двоякое направление: или такое, как в I четверти, или обратное ему.
§ 25. Таблица тригонометрических функций.
В предыдущем параграфе было сказано, что каждая тригонометрическая линия может иметь два противоположных направления: прямое, т. е. такое как в I четверти, и обратное ему. То или другое из них зависит от величины угла, а потому, составляя тригонометрические функции для различных углов от 0 до 360°, мы должны выразить также и направление тригонометрических линий. Для этой цели пользуются знаками плюс и, минус, а именно: если направление тригонометрической линии прямое, то перед ее отношением к радиусу ставят знак +; если же направление обратное, то ставят знак —.
Таким путем получается следующий состав тригонометрических функций для каждой четверти (по чертежам 15 —18).
Таким образом, тригонометрические функции для углов от 0 до 360° будут состоять уже из двух элементов: знака и абсолютной величины, и следовательно, это будут уже числа алгебраические. Так, если на чертеже 17 /
АОВ = α , R=1,2см и ВС = 0,9 см, то
sin α = — 3/4. Наконец, что касается до обобщенного определения тригонометрических функций, то его можно выразить так: тригонометрические функции суть положительные или отрицательные числа, показывающие отношение тригонометрических линий к радиусу и их прямое или обратное направление.
На чертеже 19 показаны знаки тригонометрических функций по четвертям.
Независимость тригонометрических функций от длины радиуса (§ 6) существует и теперь: для знаков она очевидна, а для абсолютных величин доказывается как раньше.