О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ.

(ГОНИОМЕТРИЯ.)

II. Тригонометрические функции углов от 90 до 360°.

§ 26. Построение угла по данной тригонометрической функции.

Значение функции теперь можно брать как положительное, так и отрицательное; подробности самого построения и его результат, как увидим, будут уже несколько иные, чем в § 10.

Для построения мы будем теперь пользоваться полным кругом (произвольного радиуса) с двумя главными диаметрами; знак функции укажет нам направление тригонометрической линии, а абсолютная величина функции — ее отношение к радиусу.

Обратимся к примерам.

Пример 1. sin x= ¹/₂.

Решение. Так как данный синус положителен, то линия синуса должна быть в верхнем полукруге, а ее длина должна составлять ¹/₂ радиуса. Поэтому поступаем так (черт. 20): выше горизонтального диаметра проводим параллель к нему на расстоянии
ОВ = ¹/₂ R до пересечения с окружностью; оно будет в двух точках (С и D), которыми и определяются два угла. Получим:

х₁ = / АОС   и   х₂ = /  АОD.

Действительно:

Пример 2. cos x = —  ³/₅.

Решение. Значение косинуса дано отрицательное, следовательно, линия косинуса должна быть влево от центра: в ней должно быть три таких части, каких в радиусе пять. Поэтому отложим OE = ³/₅ R, после чего через Е проведем прямую, перпендикулярную к горизонтальному диаметру (или параллельную МР), до пересечения" с окружностью:
оно будет в двух точках (F и С). Искомые углы: х₁ = /  AOF и х₂ = / АOС  (> 180°)
(черт. 21).

Пример 3. tg x  = l.

Решение. Сначала построим линию тангенса; она должна идти вверх от точки А (так как данный тангенс положителен), а её длина должна быть равна радиусу; проводим поэтому касательную AB = R. Через точку В должно проходить продолжение подвижного радиуса, причем это может быть или продолжение вперед или продолжение назад; проводим поэтому из В через центр секущую BCOD (черт. 22).
Получим два угла: х₁ = / АОС  и  х₂ = / AOD (>180°).

Пример 4. cosec x = —⁴/₃ .

Решение. Линия косеканса должна иметь начало в центре круга, конец — на касательной KL, а ее длина равна ⁴/₃ R;поэтому из центра О радиусом OQ = ⁴/₃R (чёрт. 23) описываем дугу, которая пересечет KL в точках В и С; ОВ и ОС — два одинаково возможных положения линии косеканса. Так как данный косеканс отрицателен, то надо сделать ОВ и ОС направленными обратно подвижному радиусу, так что искомые положения подвижного радиуса будут OD и ОЕ, а углы: х₁ = / AOD (> 180°) и х₂ = / АОЕ (> 270°).

Предоставляем самому учащемуся проделать построение и в остальных случаях ( взяв, например, sin x = —³/₅ ; cos x = ³/₄; tg x = — 2; ctg x = ⁷/₄; ctg x= — 3; sec x = 2;
соsес x = —⁵/₄ ).

Что касается результатов построения, то важно заметить, что ответов теперь получается не один, а два, что соответствует тому, что в таблице § 25 у каждой функции каждый знак встречается в двух четвертях.